Dadas as funções definidas por f(x)=x+1x-2, forall x in R, x neq 2 e g(x)=2 x+3, forall x in R, determine o conjunto domínio das funções (f circ g) e (g circ f).
Resp: D(f circ g)=x in R, x neq-12 ; D(g circ f)=x in R, x neq 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio das funções compostas (f∘g) e (g∘f), sabendo que f(x)= x+1x-2 com domínio Rsetminus2 e g(x)= 2x+3 com domínio R. Vamos usar a ideia de que x só pode estar no domínio da composta se pertencer ao domínio da função interna e, ao ser aplicado, o resultado também pertencer ao domínio da função externa.

Passo 2

Precisamos achar D(fcirc g). Por definição, fcirc g(x)=f(g(x)) existe se e somente se x está em D(g) e g(x) está em D(f). Como D(g)=R, vemos que a única restrição vem de g(x)neq 2. Resolvendo 2x+3neq 2 temos 2xneq -1 e, portanto, xneq -tfrac12. Assim D(fcirc g)=xinR:xneq -tfrac12.

Passo 3

Agora achamos D(gcirc f). Por definição, gcirc f(x)=g(f(x)) existe se x está em D(f) e f(x) está em D(g). Como D(g)=R, não há restrição adicional além da já existente em D(f)=Rsetminus2. Logo, D(gcirc f)=xinR:xneq 2.

Resposta

D(f \circ g)={x\in\mathbb{R}:x\neq -\tfrac12}; ;; D(g \circ f)={x\in\mathbb{R}:x\neq 2}

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