Mostre que
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2raizy^2+1-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x^2 y^2raizy^2+1-1. Esse exercício está trabalhando com limites em várias variáveis, ou seja, estamos examinando o comportamento da função quando x e y se aproximam de zero ao mesmo tempo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo radiciação e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: raizy^2+1-1. Precisamos simplificar isso para facilitar a análise do limite. Uma técnica útil é multiplicar e dividir pela expressão conjugada.

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada de raizy^2+1-1, que é raizy^2+1+1:
x^2 y^2raizy^2+1-1 times raizy^2+1+1raizy^2+1+1 = x^2 y^2 (raizy^2+1+1)(raizy^2+1-1)(raizy^2+1+1)

Passo 4

Simplificamos o denominador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raizy^2+1)^2 - 1^2 = y^2 + 1 - 1 = y^2
Então, a expressão fica:
x^2 y^2 (raizy^2+1+1)y^2 = x^2 (raizy^2+1 + 1)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa nova expressão quando (x, y) (0,0):
x^2 (raizy^2+1 + 1)
Sabemos que raizy^2+1 tende a 1 quando y tende a 0. Então:
x^2 (1 + 1) = 2x^2

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de 2x^2 quando x tende a 0:
limx to 0 2x^2 = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados