Dadas as funções reais definidas por f(x)=raizx-1 e g(x)=2 x^2-5 x+3, determine o conjunto domínio das funções (f circ g) e (g circ f).
Resp: D(f circ g)=x in R, x <= 12 ou x >= 2 ; D(g circ f)=x in R, x >= 1

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o domínio das funções compostas fcirc g e gcirc f, onde f(x)=raizx-1 e g(x)=2x^2-5x+3. Vamos usar noções de domínio de raiz (argumento >=0) e de polinômio (domínio R).

Passo 2

Para achar o domínio de fcirc g, precisamos que o argumento de f seja não negativo, ou seja, g(x)-1>=0. Então montamos a desigualdade:
2x^2-5x+3-1>=0
Simplificando temos:
2x^2-5x+2>=0
Agora fatoramos o trinômio:
2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)
E estudamos o sinal do produto. A expressão é >=0 quando ou ambos fatores são >=0 ou ambos <=0. Isso leva a
x<=tfrac12ou x>=2
Logo
D(fcirc g)=xin Rmid x<=tfrac12 ou x>=2

Passo 3

Para achar o domínio de gcirc f, note que g é um polinômio e seu domínio é todo R. O único cuidado é o domínio de f, pois f(x)=raizx-1 exige x-1>=0, ou seja,
x>=1
Não há mais restrições vindas de g. Portanto
D(gcirc f)=xin Rmid x>=1

Resposta

D(fcirc g)=xin Rmid x<=tfrac12 ou x>=2; D(gcirc f)=xin Rmid x>=1

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