Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Além disso, também precisamos descobrir para quais valores de a série converge de forma absolutamente e condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos aqui. A série é da forma , onde e . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A fórmula do teste da razão é:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui.
Então, o intervalo de convergência é ( 13, 1 ) e o raio de convergência R é:
R = 1 - 132 = 232 = 13
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência nos pontos finais x = 13 e x = 1.
Para x = 13:
3x - 2 = 3 cdot 13 - 2 = 1 - 2 = -1
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é uma série alternada de 1n, que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.
Para x = 1:
3x - 2 = 3 cdot 1 - 2 = 1
A série se torna:
sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Passo 7
Agora, vamos resumir:
Raio de Convergência: R = 13
Intervalo de Convergência: ( 13, 1 )
Convergência Absoluta: Para $ \frac{1}{3} < x < 1 $
Convergência Condicional: No ponto 13 < x < 1
Resposta
O raio de convergência da série é $ \frac{1}{3} $ e o intervalo de convergência é $ \left( \frac{1}{3}, 1 \right) $. A série converge absolutamente para todos os valores de 13 no intervalo $ \left( \frac{1}{3}, 1 \right) $ e converge condicionalmente no ponto $ x = \frac{1}{3} $.