Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E © condicionalmente?
sumn=1^infty (3 x-2)^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (3x-2)^nn. Além disso, também precisamos descobrir para quais valores de x a série converge de forma absolutamente e condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos aqui. A série é da forma sumn=1^infty an (x - c)^n, onde an = 3^nn e c = 23. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência R dessa série.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge. A fórmula do teste da razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui.

Passo 4

Aplicando o teste da razão na nossa série:
an = (3x - 2)^nn
Vamos calcular:
L = limn to infty | (3x - 2)^n+1/(n+1)(3x - 2)^n/n | = limn to infty | (3x - 2) cdot nn+1 | = |3x - 2| cdot limn to infty nn+1 = |3x - 2| cdot 1 = |3x - 2|

Passo 5

Para que L < 1:
|3x - 2| < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
-1 < 3x - 2 < 1
Adicionando 2 em todos os lados:
1 < 3x < 3
Dividindo por 3:
13 < x < 1
Então, o intervalo de convergência é ( 13, 1 ) e o raio de convergência R é:
R = 1 - 132 = 232 = 13

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência nos pontos finais x = 13 e x = 1.
Para x = 13:
3x - 2 = 3 cdot 13 - 2 = 1 - 2 = -1
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é uma série alternada de 1n, que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.
Para x = 1:
3x - 2 = 3 cdot 1 - 2 = 1
A série se torna:
sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.

Passo 7

Agora, vamos resumir:
  • Raio de Convergência: R = 13
  • Intervalo de Convergência: ( 13, 1 )
  • Convergência Absoluta: Para $ \frac{1}{3} < x < 1 $
  • Convergência Condicional: No ponto 13 < x < 1

Resposta

O raio de convergência da série é $ \frac{1}{3} $ e o intervalo de convergência é $ \left( \frac{1}{3}, 1 \right) $. A série converge absolutamente para todos os valores de 13 no intervalo $ \left( \frac{1}{3}, 1 \right) $ e converge condicionalmente no ponto $ x = \frac{1}{3} $.

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