Dadas as funções determine os valores extremos (máx ou mín) de f em (-infty,+infty), se existirem, usando os testes da derivada primeira e segunda.
f(x)=18 x+3 x^2-4 x^3 (-infty,+infty)

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar os extremos (máximo ou mínimo) da função f em ℝ usando os testes da derivada primeira e segunda. O conteúdo é cálculo de pontos críticos e classificação via concavidade, então vamos precisar de f′(x), resolver f′(x)=0, achar f″(x) e aplicar o teste de concavidade.

Passo 2

Calcular a derivada primeira de f. Temos f(x)=18x+3x²−4x³, então
f'(x)=ddx(18x)+ddx(3x^2)−ddx(4x^3)=18+6x−12x^2=−12x^2+6x+18

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f′(x)=0. Logo
−12x^2+6x+18=0Longrightarrow2x^2−x−3=0,
cuja fórmula de Bhaskara dá
x=1pmraiz1+244=1pm54,
portanto x=3/2 e x=−1.

Passo 4

Calcular a derivada segunda e usar o teste de concavidade. Derivando f′:
f''(x)=ddx(−12x^2+6x+18)=−24x+6
Avaliações:
  • Para x=3/2: f’’(3/2)=−24·(3/2)+6=−36+6=−30<0 → concavidade para baixo → máximo local.
  • Para x=−1: f’’(−1)=−24·(−1)+6=24+6=30>0 → concavidade para cima → mínimo local.

Passo 5

Calcular os valores de f nos pontos críticos para obter as cotas exatas:
fl(3/2r)=18cdottfrac32+3l(tfrac32r)^2−4l(tfrac32r)^3=27+tfrac274−tfrac1088=20,25=tfrac814,
f(−1)=18cdot(−1)+3cdot1−4cdot(−1)=−18+3+4=−11
Assim classificamos os extremos e seus valores.

Passo 6

Resposta

Máximo local em x=3/2 com valor f(3/2)=81/4; mínimo local em x=−1 com valor f(−1)=−11.

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