Dadas as funções determine os valores extremos (máx ou mín) de
em
, se existirem, usando os testes da derivada primeira e segunda.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar os extremos (máximo ou mínimo) da função f em ℝ usando os testes da derivada primeira e segunda. O conteúdo é cálculo de pontos críticos e classificação via concavidade, então vamos precisar de f′(x), resolver f′(x)=0, achar f″(x) e aplicar o teste de concavidade.
Passo 2
Calcular a derivada primeira de f. Temos f(x)=18x+3x²−4x³, então
Passo 3
Determinar os pontos críticos resolvendo f′(x)=0. Logo
cuja fórmula de Bhaskara dá
portanto x=3/2 e x=−1.
Passo 4
Calcular a derivada segunda e usar o teste de concavidade. Derivando f′:
Avaliações:
- Para x=3/2: f’’(3/2)=−24·(3/2)+6=−36+6=−30<0 → concavidade para baixo → máximo local.
- Para x=−1: f’’(−1)=−24·(−1)+6=24+6=30>0 → concavidade para cima → mínimo local.
Passo 5
Calcular os valores de f nos pontos críticos para obter as cotas exatas:
Assim classificamos os extremos e seus valores.
Passo 6
Resposta
Máximo local em x=3/2 com valor f(3/2)=81/4; mínimo local em x=−1 com valor f(−1)=−11.