Usando a definição de limite, mostrar que:
Passo 1
Neste exercício queremos provar que a função f(x,y)=e{-1/(x2+y^2)} tende a 0 quando (x,y)→(0,0), usando a definição ε–δ de limite em duas variáveis.
Passo 2
Observamos que, para (x,y)≠(0,0), tem-se x2+y2>0, logo o expoente -1/(x2+y2) é negativo. Assim,
Passo 3
Pela definição de limite, dado ε>0 precisamos achar δ>0 tal que, sempre que 0<
<δ, valha
.
Passo 4
Se ε≥1, basta escolher qualquer δ>0, pois
está entre 0 e 1 e, portanto, abaixo de ε. Para 0<ε<1, fazemos
Passo 5
Então, basta escolher
Passo 6
pois assim 0<
<δ implica
e, logo,
.
Passo 7
Portanto, pelo critério ε–δ, concluímos que
Resposta
0