Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2=0

Passo 1

Neste exercício queremos provar que a função f(x,y)=e{-1/(x2+y^2)} tende a 0 quando (x,y)→(0,0), usando a definição ε–δ de limite em duas variáveis.

Passo 2

Observamos que, para (x,y)≠(0,0), tem-se x2+y2>0, logo o expoente -1/(x2+y2) é negativo. Assim,
0

Passo 3

Pela definição de limite, dado ε>0 precisamos achar δ>0 tal que, sempre que 0< raizx^2+y^2<δ, valha e^-1/(x^2+y^2)<ε.

Passo 4

Se ε≥1, basta escolher qualquer δ>0, pois e^-1/(x^2+y^2) está entre 0 e 1 e, portanto, abaixo de ε. Para 0<ε<1, fazemos
e^-1/(x^2+y^2)<εiff -1x^2+y^2-ln(ε)iff x^2+y^2<1-ln(ε)

Passo 5

Então, basta escolher
de

Passo 6

pois assim 0< raizx^2+y^2<δ implica x^2+y^2<1/(-ln(ε)) e, logo, e^-1/(x^2+y^2)<ε.

Passo 7

Portanto, pelo critério ε–δ, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)e^-1/(x^2+y^2)=0

Resposta

0

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