Dadas as funções f, determine o gradiente e a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v.
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}}, P(1,2), v=(2, \sqrt{5}).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}}.
  • O ponto P=(1,2).
  • O vetor de direção v=(2,\sqrt{5}).
O que é pedido:
  • Determinar o gradiente de f e avaliá-lo em P.
  • Determinar a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v (ou seja, a derivada direcional de f em P na direção de v).

Passo 2

Entendendo o gradiente e as derivadas parciais (mini-aula rápida e prática).
  • O gradiente de f, denotado por \nabla f, é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo; analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Vamos calcular as parciais da função f(x,y)=y\cdot x^{-2}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Trate y como constante e derive x^{-2} usando a regra da potência: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Aqui x^{-2} tem derivada -2 x^{-3}.
  • Multiplicando por y (constante) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\cdot(-2 x^{-3}) = -\frac{2y}{x^{3}}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Trate x como constante; f é linear em y com coeficiente x^{-2}, então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x^{2}}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(-\frac{2y}{x^{3}},\;\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,2).
Substitua x=1 e y=2 em \nabla f(x,y):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = -\frac{2\cdot 2}{1^{3}} = -4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = \frac{1}{1^{2}} = 1.
Logo
\nabla f(1,2)=(-4,\;1).

Passo 4

Entendendo a derivada direcional (mini-aula curta).
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor v é a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção de v.
  • A fórmula usa o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário \mathbf{u} que tem a mesma direção de v:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
  • É importante usar o vetor unitário \mathbf{u}=\dfrac{v}{\|v\|}, porque a derivada direcional padrão mede variação por unidade de comprimento nessa direção.
Vamos calcular o vetor unitário em direção a v=(2,\sqrt{5}).
Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{2}{3},\;\frac{\sqrt{5}}{3}\right).

Passo 5

Calcular a derivada direcional em P fazendo o produto escalar.
Temos \nabla f(1,2)=(-4,1) e \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right). Então
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \mathbf{u} = (-4)\cdot\frac{2}{3} + 1\cdot\frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{-8+\sqrt{5}}{3}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida para intuir o valor: \sqrt{5}\approx 2{,}236, então
D_{\mathbf{u}}f(1,2)\approx \frac{-8+2{,}236}{3}\approx \frac{-5{,}764}{3}\approx -1{,}921.

Resposta

\nabla f(1,2)=(-4,\;1)
D_{v}f(1,2)=\dfrac{-8+\sqrt{5}}{3}

Exercícios relacionados