Dadas as funções
, determine o gradiente e a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
.
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O ponto
. - O vetor de direção
.
O que é pedido:
- Determinar o gradiente de
e avaliá-lo em . - Determinar a taxa de variação de
no ponto na direção do vetor (ou seja, a derivada direcional de em na direção de ).
Passo 2
Entendendo o gradiente e as derivadas parciais (mini-aula rápida e prática).
- O gradiente de
, denotado por , é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a :
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando apenas varia e fica fixo; analogamente para .
Vamos calcular as parciais da função
.
Calcule
:
- Trate
como constante e derive usando a regra da potência: se , então . - Aqui
tem derivada . - Multiplicando por
(constante) obtemos
Calcule
:
- Trate
como constante; é linear em com coeficiente , então
Portanto o gradiente geral é
Passo 3
Avaliar o gradiente em
.
Substitua
e
em
:
Logo
Passo 4
Entendendo a derivada direcional (mini-aula curta).
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor é a taxa de variação de quando nos movemos a partir de na direção de . - A fórmula usa o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário que tem a mesma direção de :
- É importante usar o vetor unitário
, porque a derivada direcional padrão mede variação por unidade de comprimento nessa direção.
Vamos calcular o vetor unitário em direção a
.
Calcule a norma de
:
Logo o vetor unitário é
Passo 5
Calcular a derivada direcional em
fazendo o produto escalar.
Temos
e
. Então
Se quiser uma aproximação decimal rápida para intuir o valor:
, então