Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar por que a função
é diferenciável no ponto . - Encontrar a linearização
de nesse ponto.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto é
. - Valor do argumento da raiz em
: em vale , que é positivo.
Passo 2
O que significa ser diferenciável em um ponto (ideia intuitiva e critério prático).
- Intuitivamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto quando ela pode ser bem aproximada por um plano (uma função linear) perto desse ponto; formalmente existe uma aproximação linear cujo erro é de ordem menor que a distância ao ponto.
- Critério prático que vamos usar (fácil e muito usado em provas): se uma função é resultado da composição de funções que são diferenciáveis e a composição é bem definida no ponto (ou seja, os argumentos estão num lugar onde todas as derivadas existem), então a função composta é diferenciável nesse ponto.
- Aqui a função é uma composição de três peças simples:
-
(função de uma variável, diferenciável para todo ), -
aplicado a (produto/elevação ao quadrado — diferenciável para todo ), -
(soma de e , diferenciável onde cada parcela é diferenciável), -
(função de uma variável, diferenciável sempre que ).
-
- Já verificamos no Passo 1 que, em
, o argumento da raiz vale . Assim todas as peças são diferenciáveis no ponto e a composição é diferenciável em . - Conclusão (prévia): por composição de funções diferenciáveis,
é diferenciável em .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
de forma explícita (isso confirma a diferenciabilidade e é necessário para a linearização).
- Defina a função interior
. Então . - Derivada da raiz: para uma função de uma variável
tem-se sempre que . - Derivadas de
: - Parcial em
: . Use regra da cadeia ou produto: e (Mostrei duas formas: produto e identidade trigonométrica.)
Portanto - Parcial em
: como tem termo somado, .
- Parcial em
- Agora pela regra da cadeia para parciais (aplicando
multiplicando as derivadas de ):
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Primeiro o valor da raiz:
- Avaliando
em : - Avaliando
em : - Essas derivadas existem e são finitas; isso reforça a diferenciabilidade já inferida por composição.
Passo 5
Definição e fórmula da linearização (ou aproximação linear).
- A linearização de
em torno do ponto é o plano tangente que dá a melhor aproximação linear de perto de . A fórmula é - Aqui
e . Já temos , e .
Passo 6
Construir e simplificar a linearização.
- Aplicando a fórmula:
- Simplificando:
- Portanto a linearização centrada em
pode ser escrita de qualquer uma destas formas equivalentes:
Passo 7
Comentário prático e pequeno exemplo de uso (reforço didático).
- A linearização serve para aproximar
para pontos próximos de . Exemplo rápido: para (ou seja, , ), que dá uma boa estimativa de sem precisar calcular a raiz exata. - Isso mostra o uso prático na prova: calcule
, as parciais em e monte ; depois plugue o ponto próximo para aproximar.
Resposta
A função é diferenciável em
.