Dadas as funções f e g abaixo, verifique se são sobrejetoras e injetoras, provando (formalmente) ou exibindo contra-exemplos. Depois determine (f circ g)(x) e seu domínio; e (g circ f)(x) e seu domínio:
f: R R, f(x)=x^2-1.
g: R^+ R, g(x)=|x|+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa verificar se as funções $ f $ e $ g $ são sobrejetoras e injetoras. Além disso, vamos calcular as composições $ (f \circ g)(x) $ e $ (g \circ f)(x) $ e determinar seus domínios. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de funções injetoras (onde cada saída tem apenas uma entrada) e sobrejetoras (onde todo valor no conjunto de chegada é atingido pela função).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = x^{2} - 1 $, que vai de $ \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $. Vamos ver se ela é injetora.
Uma função é injetora se, para quaisquer $ x_1 $ e $ x_2 $ no domínio, $ f(x_1) = f(x_2) $ implica $ x_1 = x_2 $.
Vamos testar:
Se $ f(a) = f(-a) $, então:
f(x) = x^2 - 1
Isso é verdadeiro para qualquer $ a $, então $ f(a) = f(-a) $, mas $ a \neq -a $ (a menos que $ a = 0 $).
Conclusão: A função $ f $ não é injetora porque diferentes valores de $ x $ podem dar o mesmo $ f(x) $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se $ f $ é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo $ y $ no conjunto de chegada ($ \mathbb{R} $), existe pelo menos um $ x $ no domínio tal que $ f(x) = y $.
Queremos resolver $ x^{2} - 1 = y $ para $ x $:
f
Para $ x $ ser real, precisamos que $ y + 1 \geq 0 \Rightarrow y \geq -1 $.
Conclusão: A função $ f $ não é sobrejetora em $ \mathbb{R} $ porque valores de $ y < -1 $ não são atingidos.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função $ g(x) = |x| + 1 $, que vai de $ \mathbb{R}^{+} $ para $ \mathbb{R} $. Primeiro, verificamos se $ g $ é injetora.
$ \mathbb{R}^{+} $ significa que $ x $ é qualquer número real positivo. Como $ |x| = x $ para $ x \geq 0 $, a função simplifica para $ g(x) = x + 1 $.
Se $ g(a) = g(b) $, então:
g(x) = |x| + 1
Conclusão: A função $ g $ é injetora.

Passo 5

Agora, vamos ver se $ g $ é sobrejetora. Queremos saber se para todo $ y $ em $ \mathbb{R} $ existe um $ x \in \mathbb{R}^{+} $ tal que $ g(x) = y $.
Resolvendo $ x + 1 = y $:
g
Como $ x $ deve ser positivo ($ x > 0 $), temos:
y
Conclusão: A função $ g $ não é sobrejetora em $ \mathbb{R} $ porque valores de $ y \leq 1 $ não são atingidos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a composição $ (f \circ g)(x) $. Isso significa que vamos aplicar $ g $ primeiro e depois $ f $ no resultado.
(f circ g)(x)
Simplificando:
g
Como $ x $ está em $ \mathbb{R} $, $ |x| $ está bem definido.
Domínio de $ f \circ g $: O domínio de $ g $ é $ \mathbb{R}^{+} $, então o domínio de $ f \circ g $ também é $ \mathbb{R}^{+} $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a composição $ (g \circ f)(x) $. Isso significa que vamos aplicar $ f $ primeiro e depois $ g $ no resultado.
(g circ f)(x)
Domínio de $ g \circ f $: O domínio de $ f $ é $ \mathbb{R} $, mas o domínio de $ g $ é $ \mathbb{R}^{+} $. Precisamos garantir que $ f(x) = x^{2} - 1 $ esteja em $ \mathbb{R}^{+} $, ou seja, $ x^{2} - 1 > 0 $.
f
Conclusão: O domínio de $ g \circ f $ é $ x \in \mathbb{R} $ tais que $ |x| > 1 $, ou seja, $ x > 1 $ ou $ x < -1 $.

Resposta

  • A função $ f $ não é injetora nem sobrejetora.
  • A função $ g $ é injetora, mas não é sobrejetora.
  • A composição $ (f \circ g)(x) = x^{2} + 2|x| $ com domínio $ \mathbb{R}^{+} $.
  • A composição $ (g \circ f)(x) = |x^{2} - 1| + 1 $ com domínio $ x > 1 $ ou $ x < -1 $.

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