Que relação deve haver entre as constantes a, b e c para fazer
integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(a x^2+2 b x y+c y^2) d x d y=1 ?
(Dica: Seja s=alpha x+beta y e t=gamma x+de, onde (alpha de. Então, a x^2+2 b x y+c y^2= S^2+t^2.)

Passo 1

O enunciado pede que a integral dupla integral-infty^inftyintegral-infty^inftye^-(a x^2+2 b x y+c y^2),dx,dy=1valha 1. O conteúdo é integral gaussiana em duas variáveis e vamos precisar de uma mudança linear de variáveis para diagonalizar a forma quadrática.

Passo 2

Aplicamos a mudança de variáveis block com Jacobiana não nula e que diagonaliza o expoente:
s=alpha x+beta y t=gamma x+de
onde (alphade. Sob essa transformação, o expoente fica
a x^2+2 b x y+c y^2=s^2+t^2

Passo 3

O determinante da Jacobiana é J=alphade, logo
dx,dy=1J,ds,dt
Assim a integral original vira
integral-infty^inftyintegral-infty^inftye^-(s^2+t^2),ds,dtJ

Passo 4

Sabendo que a integral gaussiana em R^2 é
integral-infty^inftyintegral-infty^inftye^-(s^2+t^2),ds,dt=pi,
segue que a integral original vale
piJ

Passo 5

Para que isso dê 1, precisamos de
piJ=1implies J=pi
Como J^2=a c-b^2, obtemos
a c-b^2=pi^2

Resposta

a c - b^2 = \pi^2

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