Prove (formalmente) que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a interseção do complemento de $ A $ com $ B $ é igual a diferença entre $ B $ e $ A $, ou seja, $ A^{c} \cap B = B \backslash A $. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como complemento, interseção e diferença de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada operação significa:
- Complemento de $ A $ ($ A^{c} $): São todos os elementos que não estão em $ A $.
- Interseção ($ \cap $): São os elementos que estão em ambos os conjuntos.
- Diferença entre $ B $ e $ A $ ($ B \backslash A $): São os elementos que estão em $ B $ e não estão em $ A $.
Passo 3
Vamos provar que $ A^{c} \cap B \subseteq B \backslash A $. Ou seja, todo elemento que está em $ A^{c} \cap B $ também está em $ B \backslash A $.
- Seja $ x \in A^{c} \cap B $.
- Por definição de interseção, $ x \in A^{c} $ e $ x \in B $.
- Como $ x \in A^{c} $, sabemos que $ x \notin A $.
- E já sabemos que $ x \in B $.
- Portanto, $ x \in B $ e $ x \notin A $, o que significa que $ x \in B \backslash A $.
Passo 4
Agora, vamos provar que $ B \backslash A \subseteq A^{c} \cap B $. Ou seja, todo elemento que está em $ B \backslash A $ também está em $ A^{c} \cap B $.
- Seja $ x \in B \backslash A $.
- Por definição de diferença, $ x \in B $ e $ x \notin A $.
- Como $ x \notin A $, então $ x \in A^{c} $.
- E como $ x \in B $, temos que $ x \in A^{c} \cap B $.
Resposta
Assim, mostramos que $ A^{c} \cap B = B \backslash A $.