Prove (formalmente) que A^c cap B=B backslash A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a interseção do complemento de $ A $ com $ B $ é igual a diferença entre $ B $ e $ A $, ou seja, $ A^{c} \cap B = B \backslash A $. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como complemento, interseção e diferença de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operação significa:
  • Complemento de $ A $ ($ A^{c} $): São todos os elementos que não estão em $ A $.
  • Interseção ($ \cap $): São os elementos que estão em ambos os conjuntos.
  • Diferença entre $ B $ e $ A $ ($ B \backslash A $): São os elementos que estão em $ B $ e não estão em $ A $.

Passo 3

Vamos provar que $ A^{c} \cap B \subseteq B \backslash A $. Ou seja, todo elemento que está em $ A^{c} \cap B $ também está em $ B \backslash A $.
  • Seja $ x \in A^{c} \cap B $.
  • Por definição de interseção, $ x \in A^{c} $ e $ x \in B $.
  • Como $ x \in A^{c} $, sabemos que $ x \notin A $.
  • E já sabemos que $ x \in B $.
  • Portanto, $ x \in B $ e $ x \notin A $, o que significa que $ x \in B \backslash A $.

Passo 4

Agora, vamos provar que $ B \backslash A \subseteq A^{c} \cap B $. Ou seja, todo elemento que está em $ B \backslash A $ também está em $ A^{c} \cap B $.
  • Seja $ x \in B \backslash A $.
  • Por definição de diferença, $ x \in B $ e $ x \notin A $.
  • Como $ x \notin A $, então $ x \in A^{c} $.
  • E como $ x \in B $, temos que $ x \in A^{c} \cap B $.

Resposta

Assim, mostramos que $ A^{c} \cap B = B \backslash A $.

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