Dadas as funções f e g definidas por f(x)=raizx^2-1 e g(x)=raiz2 x-x^2, determine:
(a) o domínio de f
(b) o domínio de g
© o domínio de f+g e f-g
(d) o domínio e a expressão que define f cdot g
(e) o domínio e a expressão que define fg

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai lidar com funções definidas por radicais: f(x)=raizx^2-1 e g(x)=raiz2x-x^2. Vamos precisar usar a condição de existência de raízes de índice par, ou seja, as expressões dentro dos radicais têm que ser >=0.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f, impomos x^2-1>=0. Resolvendo: Veja que x^2-1=(x-1)(x+1), então a desigualdade é satisfeita quando x<=-1 ou x>=1. Logo,

Passo 3

O domínio de g vem de 2x-x^2>=0. Reescrevendo como x(2-x)>=0,
A parábola -x^2+2x fica acima do eixo em [0,2]. Portanto,

Passo 4

Para as funções f+g e f-g, precisamos que f e g estejam simultaneamente definidas, ou seja, a interseção de Dom(f)=(-infty,-1]cup[1,infty) e Dom(g)=[0,2]. Isso dá
No caso do produto fcdot g, novamente a gente exige que cada fator exista, então o domínio é a mesma interseção. A expressão fica

Passo 5

Para a razão fg, além de exigir que f e g existam, precisamos que g(x)neq0. Como g(x)=0 em x=0 e x=2, e a interseção dos domínios é [1,2], a única exclusão é x=2. A expressão final é

Resposta

(a) Dom(f)=(-infty,-1]cup[1,infty)
(b) Dom(g)=[0,2]
© Dom(f+g)=Dom(f-g)=[1,2]
(d) Dom(fcdot g)=[1,2] e f(x),g(x)=raizx^2-1;raiz2x-x^2=raiz(x^2-1)(2x-x^2)
(e) Doml(tfracfgr)=[1,2) e
f(x)g(x)=raizx^2-1raiz2x-x^2=raizx^2-12x-x^2

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