Seja a função
f(x)=e^x cdot|x-1|(x-1)
Podemos dizer que lim x 1 f(x) existe? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para investigar o limite de f(x)=e^x,|x-1|x-1 quando xto1. O conteúdo envolve limites e a propriedade do valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição de limite lateral e escrever tfrac|x-1|x-1 de forma piecewise.

Passo 2

Observamos que tfrac|x-1|x-1 é a função sinal de x-1. Em detalhe, temos:
|x-1|x-1 = 1 & se x>1,-1 & se x<1
Para xto1^+, temos x>1 e, portanto, tfrac|x-1|x-1=1. Assim,
limxto1^+f(x)=limxto1^+e^xcdot1=e^1=e
Para xto1^-, temos x<1 e, portanto, tfrac|x-1|x-1=-1. Assim,
limxto1^-f(x)=limxto1^-e^xcdot(-1)=-e^1=-e
Como os limites laterais são diferentes ( e e -e), concluímos que o limite limxto1f(x) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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