Determine, se possível, os valores das constantes A, B e C para que, para todo x real, sejam válidas as seguintes igualdades:
5 x-2x^2-4=Ax-2+Bx+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos os valores das constantes $ A $ e $ B $ de modo que, para qualquer valor de $ x $, a igualdade
A
seja verdadeira. Vamos usar o conteúdo de frações parciais, que nos ajuda a decompor expressões racionais em somas mais simples. Para isso, precisamos entender como igualar os numeradores após colocar tudo sob um denominador comum.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a igualdade:
5x - 2x^2 - 4 = Ax - 2 + Bx + 2
O denominador $ x^{2} - 4 $ pode ser fatorado como $ (x - 2)(x + 2) $, então já vemos que os denominadores das frações do lado direito são os fatores desse polinômio.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos colocar tudo sob o mesmo denominador. Multiplicamos os numeradores pelas partes que faltam:
5x - 2(x - 2)(x + 2) = A(x + 2)(x - 2)(x + 2) + B(x - 2)(x - 2)(x + 2)
Agora, como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
5x - 2 = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
5x - 2 = A x + 2A + B x - 2B
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
5x - 2 = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
x

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo tudo por 2:
A - B = -1
Agora, temos:
A + B = 5 A - B = -1
Somando as duas equações:
2A = 4 Rightarrow A = 2
Substituindo $ A = 2 $ na primeira equação:
A = 2

Resposta

Os valores das constantes são $ A = 2 $ e $ B = 3 $.

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