Determine, se possível, os valores das constantes
e
para que, para todo
real, sejam válidas as seguintes igualdades:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos os valores das constantes $ A $ e $ B $ de modo que, para qualquer valor de $ x $, a igualdade
seja verdadeira. Vamos usar o conteúdo de frações parciais, que nos ajuda a decompor expressões racionais em somas mais simples. Para isso, precisamos entender como igualar os numeradores após colocar tudo sob um denominador comum.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a igualdade:
O denominador $ x^{2} - 4 $ pode ser fatorado como $ (x - 2)(x + 2) $, então já vemos que os denominadores das frações do lado direito são os fatores desse polinômio.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos colocar tudo sob o mesmo denominador. Multiplicamos os numeradores pelas partes que faltam:
Agora, como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo tudo por 2:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo $ A = 2 $ na primeira equação:
Resposta
Os valores das constantes são $ A = 2 $ e $ B = 3 $.