Dadas as funções
e
a seguir, obtenha
e
e seus respectivos domínios de definição:
(b)
e
(b)
Passo 1
O enunciado pede para formar as composições f∘g e g∘f das funções f(x)=cos x e g(x)=√(1−4x²), além de encontrar o domínio de cada composta. Vamos usar teoria de composição de funções e as restrições de domínio (especialmente para raiz).
Passo 2
Para calcular f∘g, aplicamos f sobre o valor de g(x):
O domínio de f∘g é o conjunto de x tais que x está no domínio de g e g(x) está no domínio de f. Como f é coseno, vale em todo
. Já g exige
, ou seja x²\le1/4, logo
Passo 3
Para g∘f, aplicamos g sobre f(x):
Aqui o domínio é o conjunto de x tais que x\in\mathbb{R} (domínio de f) e o radicando satisfaz 1−4cos²x\ge0. Isso dá
Resolvendo essa desigualdade trigonométrica, encontramos
Resposta
f\circ g(x)=\cos\bigl(\sqrt{1-4x^2}\bigr),\quad\mathrm{Dom}(f\circ g)=[-\tfrac12,\tfrac12].
g\circ f(x)=\sqrt{1-4\cos^2x},\quad\mathrm{Dom}(g\circ f)=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl[\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Bigr]\cup\Bigl[\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{5\pi}{3}+2k\pi\Bigr].
g\circ f(x)=\sqrt{1-4\cos^2x},\quad\mathrm{Dom}(g\circ f)=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl[\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Bigr]\cup\Bigl[\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{5\pi}{3}+2k\pi\Bigr].