Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f circ g e g circ f e seus respectivos domínios de definição:
(b) f(x)=cos x e g(x)=raiz1-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para formar as composições f∘g e g∘f das funções f(x)=cos x e g(x)=√(1−4x²), além de encontrar o domínio de cada composta. Vamos usar teoria de composição de funções e as restrições de domínio (especialmente para raiz).

Passo 2

Para calcular f∘g, aplicamos f sobre o valor de g(x):
fcirc g(x)=fl(g(x)r)=cosl(raiz1-4x^2r)
O domínio de f∘g é o conjunto de x tais que x está no domínio de g e g(x) está no domínio de f. Como f é coseno, vale em todo R. Já g exige 1-4x^2>=0, ou seja x²\le1/4, logo
Dom(fcirc g)=[-tfrac12,tfrac12]

Passo 3

Para g∘f, aplicamos g sobre f(x):
gcirc f(x)=gl(f(x)r)=raiz1-4cos^2x
Aqui o domínio é o conjunto de x tais que x\in\mathbb{R} (domínio de f) e o radicando satisfaz 1−4cos²x\ge0. Isso dá
cos^2x<=tfrac14Long<=ftrightarrow|cos x|<=tfrac12
Resolvendo essa desigualdade trigonométrica, encontramos
Dom(gcirc f)=cupkinZl[tfracpi3+2kpi,,tfrac2pi3+2kpir]cupl[tfrac4pi3+2kpi,,tfrac5pi3+2kpir]

Resposta

f\circ g(x)=\cos\bigl(\sqrt{1-4x^2}\bigr),\quad\mathrm{Dom}(f\circ g)=[-\tfrac12,\tfrac12].
g\circ f(x)=\sqrt{1-4\cos^2x},\quad\mathrm{Dom}(g\circ f)=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl[\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Bigr]\cup\Bigl[\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\tfrac{5\pi}{3}+2k\pi\Bigr].

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