Dadas as funções
e
, verifique se
e determine a função composta
:
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a imagem de
está contida no domínio de
e depois achar a função composta
. O conteúdo é composição de funções e vamos precisar usar definição de domínio, imagem e substituir
dentro de
.
Passo 2
Primeiro, encontramos os domínios de
e
:\nA função
não está definida quando o denominador é zero, ou seja,
. Portanto: \nA função
não está definida quando
. Então:
Passo 3
Para achar a imagem de
, resolvemos
em função de
:\n
Se
, temos
Isso mostra que todo
real diferente de 1 é atingido por
. Não existe
tal que
. Logo:
Passo 4
Comparamos agora com :\n Como o único valor que
não atinge é 1, e
só proíbe 2, concluímos que .
Passo 5
Para obter
, fazemos a substituição:\n
Simplificando passo a passo: no numerador temos
e no denominador
Dividindo numerador por denominador dá\n$$h(x)=\frac{\frac{2x+1}{x+1}}{\frac{-x-2}{x+1}}=\frac{2x+1}{-x-2}=-\frac{2x+1}{x+2}.
$$
Passo 6
Não podemos esquecer o domínio de
: ele herda a restrição de
(
) e também precisa evitar pontos em que
, pois
não está definida em 2. A equação
dá
. Assim: $$\dom h=\mathbb{R}\setminus{-2,-1}.
$$
Resposta
A imagem de
é
, que está contida em . A composta é
com .