Dadas as funções f e g, verifique se i m f subseteq d o m g e determine a função composta h=g circ f:
g(x)=x+1x-2 e f(x)=xx+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a imagem de f está contida no domínio de g e depois achar a função composta h = gcirc f. O conteúdo é composição de funções e vamos precisar usar definição de domínio, imagem e substituir f(x) dentro de g(x).

Passo 2

Primeiro, encontramos os domínios de f e g:\nA função f(x)=xx+1 não está definida quando o denominador é zero, ou seja, x+1=0. Portanto: \nA função dom f=xinR:xneq -1 não está definida quando g(x)=x+1x-2. Então:

Passo 3

Para achar a imagem de f, resolvemos y=xx+1 em função de x:\n y( x+1 )=xRightarrow yx+y=xRightarrow x(1-y)=y Se yneq1, temos x=y1-y Isso mostra que todo y real diferente de 1 é atingido por f. Não existe x tal que f(x)=1. Logo:

Passo 4

Comparamos agora com :\n Como o único valor que im f não atinge é 1, e dom g só proíbe 2, concluímos que .

Passo 5

Para obter h(x)=g(f(x)), fazemos a substituição:\n h(x)=gl(f(x)r)=gl(tfracxx+1r)=tfracxx+1+1tfracxx+1-2 Simplificando passo a passo: no numerador temos xx+1+1=x+(x+1)x+1=2x+1x+1, e no denominador xx+1-2=x-2(x+1)x+1=-x-2x+1 Dividindo numerador por denominador dá\n$$h(x)=\frac{\frac{2x+1}{x+1}}{\frac{-x-2}{x+1}}=\frac{2x+1}{-x-2}=-\frac{2x+1}{x+2}.
$$

Passo 6

Não podemos esquecer o domínio de h: ele herda a restrição de f ( xneq-1) e também precisa evitar pontos em que f(x)=2, pois g não está definida em 2. A equação xx+1=2 x=-2. Assim: $$\dom h=\mathbb{R}\setminus{-2,-1}.
$$

Resposta

A imagem de f é Rsetminus1, que está contida em . A composta é
dom g=Rsetminus2
com .

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