Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral(e^t2+raizt+1t) d t

Passo 1

Enunciado: calcular a integral integrall(e^t2+raizt+1tr),dt. Matéria: integração de soma de funções exponencial, potência e logarítmica. Vamos usar as regras de integração termo a termo e as fórmulas integral e^t dt=e^t, integral t^n dt=t^n+1n+1 e integral 1t dt=ln|t|.

Passo 2

Separar a integral em três partes usando linearidade: integrale^t2,dt+integralraizt,dt+integral1t,dt

Passo 3

Calcular cada parte:
Para integrale^t2,dt fatoramos 12 e temos 12 e^t.
Para integralraizt,dt=integral t^1/2dt, aplicamos integral t^n dt=t^n+1n+1 com n=tfrac12, obtendo t^3/23/2=23t^3/2.
Para integral1t,dt sabemos que é ln|t|.

Passo 4

Somar os resultados e acrescentar a constante de integração C:
12e^t+23t^3/2+ln|t|+C

Passo 5

Verificação: derivar o resultado
ddtl(12e^t+23t^3/2+ln|t|+Cr) =e^t2+23cdot32t^1/2+1t =e^t2+raizt+1t,
que corresponde ao integrando, confirmando a solução.

Resposta

12e^t+23t^3/2+ln|t|+C

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