Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral x^-1 / 3-5x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a integral de x^-1/3 - 5x em relação a x e depois derivar o resultado para conferir se está certinho. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integrais e derivadas, trabalhando com potências de x e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
x^-1/3 - 5x
Podemos separar essa fração em duas partes:
x^-1/3x - 5x

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo separadamente. Lembre-se que x^ax^b = x^a - b.
Para o primeiro termo:
x^-1/3x = x^-1/3 - 1 = x^-4/3
E para o segundo termo:
5x = 5x^-1
Então, a integral fica:
integral x^-4/3 , dx - 5 integral x^-1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral x^-4/3 , dx
A regra para integrar potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
Aplicando isso:
x^-4/3 + 1-4/3 + 1 = x^-1/3-1/3 = -3x^-1/3
Segunda integral:
-5 integral x^-1 , dx
Sabemos que:
integral x^-1 , dx = ln|x| + C
Então:
-5 ln|x|

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos:
-3x^-1/3 - 5 ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar o resultado para conferir se voltamos à expressão original.
Derivando:
ddx ( -3x^-1/3 - 5 ln|x| + C )
Usando as regras de derivação:
-3 cdot ( -13 x^-4/3 ) - 5 cdot 1x = x^-4/3 - 5x
Que é exatamente a expressão dentro da integral original.

Resposta

A integral de x^-1/3 - 5x é -3x^-1/3 - 5 ln|x| + C, onde C é a constante de integração.

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