Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
e depois derivar o resultado para conferir se está certinho. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integrais e derivadas, trabalhando com potências de
e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente. Lembre-se que
.
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
A regra para integrar potências de
é:
Aplicando isso:
Segunda integral:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Juntando as duas integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar o resultado para conferir se voltamos à expressão original.
Derivando:
Usando as regras de derivação:
Que é exatamente a expressão dentro da integral original.
Resposta
A integral de
é
, onde
é a constante de integração.