Determine a derivada de cada função a seguir:
(a) f(x)=x ln x
(l) f(x)=ln (x+1x^2+4 x)
(b) f(x)=x e^2 x
© f(x)=1x ln x
(d) f(x)=x tg xln x
(e) f(x)=3^x e^x
(m) f(x)=e^x^2+2 cos (x^2+4)
(n) f(x)=sen(3 x^2-5)e^2 x
(f) f(x)=e^x cos x
(o) f(x)=ln (sen x+cos x)
(g) f(x)=e^x arcsen x
§ f(x)=raizln (x^2+1)
(h) f(x)=x arccos x
(q) f(x)=e^2 x arctg(3 x)
® f(x)=e^raiz2 x+1
(i) f(x)=x^3+1arcsen x
(s) f(x)=arctg(raizx^2+2)
(j) f(x)=e^3 x^2+5
(t) f(x)=sen x arcsec(3 x)
(k) f(x)=arcsen(e^x)
(u) f(x)=ln (2 x) arcsen(x^2)

Passo 1

Temos uma lista de funções cujas derivadas queremos obter. Para isso, vamos usar as regras de derivação de soma, produto, quociente e cadeia, além das derivadas básicas de e^x, ln x, funções trigonométricas ( sin x, cos x, ) e suas inversas (, tg x, , ).

Passo 2

Para f(x)=xln x, aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u=x e v=ln x. A derivada de ln x é 1/x. Logo,
f'(x)=1cdotln x + xcdot1x = ln x +1

Passo 3

Para f(x)=lnl((x+1)/(x^2+4x)r), usamos a regra da cadeia e a derivada de ln u que é u'/u. Seja u=(x+1)/(x^2+4x). Calculamos
u' = (1)(x^2+4x)-(x+1)(2x+4)(x^2+4x)^2 = -x^2-2x-4(x^2+4x)^2
e depois
f'(x)=u'u = -x^2-2x-4(x^2+4x)^2cdotx^2+4xx+1 = -x^2+2x+4(x^2+4x)(x+1)

Passo 4

Para f(x)=x e^2x, regra do produto com u=x e v=e^2x. Temos v'=2e^2x. Então
f'(x)=1cdot e^2x + xcdot2e^2x = e^2x(1+2x)

Passo 5

Para f(x)=1/(xln x), escrevemos f=(xln x)^-1 e aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=-1cdot(xln x)^-2cdot(ln x+1) = -ln x+1(xln x)^2

Passo 6

Para , seja (regra do produto) e f(x)=xtg xln x. Temos e u=xtg x. Pela regra do quociente,

Passo 7

Para f(x)=3^x e^x, produto de u=3^x (com u'=3^xln3) e v=e^x. Logo
f'(x)=3^xln3,e^x + 3^x e^x = 3^x e^x(ln3 +1)

Passo 8

Para f(x)=e^x^2 +2cos(x^2+4), usamos soma, cadeia e derivada de cos.
f'(x)=2x e^x^2 + 2l(-sin(x^2+4)r)cdot2x = 2x e^x^2 -4xsin(x^2+4)

Passo 9

Para f(x)=sin(3x^2-5)/e^2x, quociente com u=sin(3x^2-5) e v=e^2x. Temos u'=6xcos(3x^2-5) e v'=2e^2x. Assim,
f'(x)=6xcos(3x^2-5)e^2x - sin(3x^2-5)2e^2xe^4x = e^-2xl(6xcos(3x^2-5)-2sin(3x^2-5)r)

Passo 10

Para f(x)=e^xcos x, produto com u=e^x e v=cos x.
f'(x)=e^xcos x + e^x(-sin x) = e^x(cos x -sin x)

Passo 11

Para f(x)=ln(sin x+cos x), cadeia com u=sin x+cos x. Temos u'=cos x-sin x.
f'(x)=cos x-sin xsin x+cos x

Passo 12

Para , produto com f(x)=e^xarcsen x, , u=e^x.

Passo 13

Para f(x)=raizln(x^2+1), escreva f=(ln(x^2+1))^1/2 e use cadeia duas vezes.
f'(x)=12raizln(x^2+1)cdot2xx^2+1 = x(x^2+1)raizln(x^2+1)

Passo 14

Para f(x)=xarccos x, produto com u=x e v=arccos x, v'=-1/raiz1-x^2.
f'(x)=arccos x + xl(-1raiz1-x^2r) = arccos x - xraiz1-x^2

Passo 15

Para , produto com f(x)=e^2xarctg(3x), u=e^2x, e , u'=2e^2x.

Passo 16

Para f(x)=e^raiz2x+1, cadeia com g=raiz2x+1=(2x+1)^1/2, g'=1/raiz2x+1.
f'(x)=e^raiz2x+1cdot1raiz2x+1 = e^raiz2x+1raiz2x+1

Passo 17

Para , quociente com f(x)=x^3+1arcsen x, u=x^3+1, , u'=3x^2.

Passo 18

Para , cadeia dupla: primeiro f(x)=arctgl(raizx^2+2r), h=raizx^2+2, depois com derivada h'=x/raizx^2+2.
arctg h

Passo 19

Para f(x)=e^3x^2+5, cadeia com g=3x^2+5, g'=6x.
f'(x)=e^3x^2+5cdot6x = 6x e^3x^2+5

Passo 20

Para , produto com f(x)=sin x,arcsec(3x), u=sin x, e cuja derivada é u'=cos x.

Passo 21

Para , cadeia com f(x)=arcsen(e^x), u=e^x, e cuja derivada é u'=e^x.
arcsen u

Passo 22

Para , produto com f(x)=ln(2x),arcsen(x^2), u=ln(2x), e , u'=1/x.

Resposta

(a) f'(x)=ln x +1
(l) f'(x)=-dfracx^2+2x+4(x^2+4x)(x+1)
(b) f'(x)=e^2x(1+2x)
© f'(x)=-dfracln x+1(xln x)^2
(d) f'(x)=dfractan x(ln x -1)+xln xsec^2 x(ln x)^2
(e) f'(x)=3^x e^x(ln3+1)
(m) f'(x)=2x e^x^2 -4xsin(x^2+4)
(n) f'(x)=e^-2xl(6xcos(3x^2-5)-2sin(3x^2-5)r)
(f) f'(x)=e^x(cos x -sin x)
(o) f'(x)=dfraccos x-sin xsin x+cos x
(g) f'(x)=e^xl(arcsin x + tfrac1raiz1-x^2r)
§ f'(x)=dfracx(x^2+1)raizln(x^2+1)
(h) f'(x)=arccos x - dfracxraiz1-x^2
(q) f'(x)=e^2xl(2arctan(3x)+dfrac31+9x^2r)
® f'(x)=dfrace^raiz2x+1raiz2x+1
(i) f'(x)=dfrac3x^2arcsin x - tfracx^3+1raiz1-x^2(arcsin x)^2
(s) f'(x)=dfracxraizx^2+2,(x^2+3)
(j) f'(x)=6x e^3x^2+5
(t)
(k) f'(x)=cos x,arcsec(3x) + dfracsin x|x|raiz9x^2-1
(u) f'(x)=dfrace^xraiz1-(e^x)^2

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