Dadas as funções
limitadas inferiormente, isto é, as imagens são limitadas inferiormente. Prove que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções $ f $ e $ g $ que são mapeadas de um conjunto $ X $ para os números reais $ \mathbb{R} $ e que têm limites inferiores. Nosso objetivo aqui é provar que o ínfimo da soma dessas funções $ \inf (f + g) $ é pelo menos a soma dos ínfimos individuais $ \inf (f) + \inf (g) $. Para isso, vamos precisar entender o que é o ínfimo e como ele se comporta em relação à soma de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o ínfimo de uma função. O ínfimo, $ \inf(f) $, é o maior número que é menor ou igual a todos os valores que a função $ f $ pode assumir. Ou seja, é como o “menor limite” que a função nunca ultrapassa para baixo.
Passo 3
Agora, vamos considerar a soma das duas funções $ f + g $. Para cada $ x $ em $ X $, temos $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) $. Queremos encontrar o ínfimo dessa nova função $ f + g $.
Passo 4
Sabemos que para cada $ x $ em $ X $:
e
Porque $ \inf(f) $ e $ \inf(g) $ são os menores valores que $ f $ e $ g $ alcançam, respectivamente.
Passo 5
Então, somando essas duas desigualdades, temos:
Isso vale para todo $ x $ em $ X $.
Passo 6
Como isso é verdadeiro para todo $ x $, o menor valor que $ f + g $ pode alcançar, ou seja, $ \inf(f + g) $, também deve ser maior ou igual a $ \inf(f) + \inf(g) $.
Resposta
Portanto, provamos que: