Sejam ai in(alpha, beta) e lambdai >= 0 para i=1,2, ldots n. Se sumi=1^n lambdai=1, prove que sumi=1^n lambdai ai in(alpha, beta).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma lista de números ai que estão todos entre alpha e beta ( alpha < ai < beta) e cada um deles tem um peso lambdai que é maior ou igual a zero. Além disso, a soma de todos esses pesos é igual a 1 ( sumi=1^n lambdai = 1). O objetivo é provar que a combinação ponderada desses números, ou seja, sumi=1^n lambdai ai, também estará entre alpha e beta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de média ponderada e propriedades de intervalos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que cada ai está entre alpha e beta, o que podemos escrever como:
alpha < ai < beta para todo i = 1, 2, ldots, n

Passo 3

Os pesos lambdai são não negativos ( lambdai >= 0) e somam 1:
sumi=1^n lambdai = 1
Isso significa que estamos trabalhando com uma média ponderada dos valores ai.

Passo 4

Queremos analisar a combinação ponderada:
sumi=1^n lambdai ai
E mostrar que esse valor também está entre alpha e beta.

Passo 5

Como alpha < ai < beta para todo i, podemos multiplicar toda a desigualdade por lambdai (que é não negativo) sem mudar a direção das desigualdades:
alpha lambdai < lambdai ai < beta lambdai

Passo 6

Agora, somamos essas desigualdades para todos os valores de i de 1 a n:
sumi=1^n alpha lambdai < sumi=1^n lambdai ai < sumi=1^n beta lambdai

Passo 7

Como alpha e beta são constantes, podemos tirar elas da soma:
alpha sumi=1^n lambdai < sumi=1^n lambdai ai < beta sumi=1^n lambdai

Passo 8

Sabemos que a soma dos lambdai é 1:
alpha cdot 1 < sumi=1^n lambdai ai < beta cdot 1
Ou seja:
alpha < sumi=1^n lambdai ai < beta

Resposta

Portanto, a combinação ponderada sumi=1^n lambdai ai está entre alpha e beta, ou seja:
sumi=1^n lambdai ai in (alpha, beta)

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