Sejam
e
para
. Se
, prove que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma lista de números
que estão todos entre
e
(
) e cada um deles tem um peso
que é maior ou igual a zero. Além disso, a soma de todos esses pesos é igual a 1 (
). O objetivo é provar que a combinação ponderada desses números, ou seja,
, também estará entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de média ponderada e propriedades de intervalos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que cada
está entre
e
, o que podemos escrever como:
Passo 3
Os pesos
são não negativos (
) e somam 1:
Isso significa que estamos trabalhando com uma média ponderada dos valores
.
Passo 4
Queremos analisar a combinação ponderada:
E mostrar que esse valor também está entre
e
.
Passo 5
Como
para todo
, podemos multiplicar toda a desigualdade por
(que é não negativo) sem mudar a direção das desigualdades:
Passo 6
Agora, somamos essas desigualdades para todos os valores de
de 1 a
:
Passo 7
Como
e
são constantes, podemos tirar elas da soma:
Passo 8
Sabemos que a soma dos
é 1:
Ou seja:
Resposta
Portanto, a combinação ponderada
está entre
e
, ou seja: