Seja
o segmento de reta indo de
a
.
Calcule a integral
.
Calcule a integral
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integração em relação ao comprimento de arco. Precisamos parametrizar a reta
, expressar as coordenadas
e
em termos do parâmetro, calcular
e então montar e avaliar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Uma forma comum de parametrizar uma reta que vai de um ponto
a um ponto
é usar uma variável
que varia de 0 a 1:
No nosso caso,
e
, então:
Isso nos dá as componentes parametrizadas:
onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva
. A fórmula para
em termos do parâmetro
é:
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Em seguida, calculamos a norma de
:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos as expressões parametrizadas de
e
na função que estamos integrando:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando:
Resposta
A integral vale
.