Seja C o segmento de reta indo de (1,2,3) a (3,-1,1).
Calcule a integral integralC(y+z) d s.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC(y + z) , d s, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (1,2,3) até o ponto (3,-1,1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integração em relação ao comprimento de arco. Precisamos parametrizar a reta C, expressar as coordenadas y e z em termos do parâmetro, calcular d s e então montar e avaliar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C. Uma forma comum de parametrizar uma reta que vai de um ponto P0 = (x0, y0, z0) a um ponto P1 = (x1, y1, z1) é usar uma variável t que varia de 0 a 1:
r(t) = P0 + t (P1 - P0)
No nosso caso, P0 = (1,2,3) e P1 = (3,-1,1), então:
r(t) = (1,2,3) + t cdot ((3,-1,1) - (1,2,3)) = (1,2,3) + t cdot (2,-3,-2)
Isso nos dá as componentes parametrizadas:
x(t) = 1 + 2t
y(t) = 2 - 3t
z(t) = 3 - 2t
onde t varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para d s, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva C. A fórmula para d s em termos do parâmetro t é:
d s = |r,'(t)| , dt
Primeiro, calculamos a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = ddt (1 + 2t, , 2 - 3t, , 3 - 2t) = (2, -3, -2)
Em seguida, calculamos a norma de r,'(t):
|r,'(t)| = raiz2^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17
Portanto:
d s = raiz17 , dt

Passo 4

Agora, substituímos as expressões parametrizadas de y(t) e z(t) na função que estamos integrando:
y + z = (2 - 3t) + (3 - 2t) = 5 - 5t
Portanto, a integral fica:
integralC(y + z) , d s = integral0^1 (5 - 5t) cdot raiz17 , dt

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (5 - 5t) cdot raiz17 , dt = raiz17 integral0^1 (5 - 5t) , dt
Integrando:
raiz17 [ 5t - 52t^2 ]0^1 = raiz17 ( 5(1) - 52(1)^2 - [5(0) - 52(0)^2] ) = raiz17 ( 5 - 52 ) = raiz17 cdot 52

Resposta

A integral vale 52 raiz17.

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