Dadas as funções f, g: X R limitadas inferiormente, isto é, as imagens são limitadas inferiormente. Prove que
Dê um exemplo onde temos: inf (f+g)>inf (f)+inf (g).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem nessa questão são duas funções $ f $ e $ g $ que mapeiam um conjunto $ X $ para os números reais $ \mathbb{R} $. Essas funções são limitadas inferiormente, ou seja, elas não descem abaixo de certo valor. A tarefa aqui é mostrar que o ínfimo da soma dessas funções $ \inf(f+g) $ é maior ou igual à soma dos ínfimos individuais $ \inf(f) + \inf(g) $. Além disso, a gente precisa dar um exemplo onde essa desigualdade é estrita, ou seja, onde $ \inf(f+g) $ é realmente maior que $ \inf(f) + \inf(g) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ínfimo e como ele se comporta em somas de funções.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o ínfimo de uma função. O ínfimo $ \inf(f) $ de uma função $ f: X \rightarrow \mathbb{R} $ é o maior número $ m $ tal que $ m \leq f(x) $ para todo $ x $ em $ X $. Basicamente, é o menor valor que a função nunca alcança, mas sempre tem valores maiores ou iguais a ele.

Passo 3

Agora, vamos provar que $ \inf(f + g) \geq \inf(f) + \inf(g) $. Para isso, consideremos qualquer ponto $ x $ em $ X $. Sabemos que:
inf(f + g) >= inf(f) + inf(g)
Somando essas desigualdades, temos:
x
Isso vale para todo $ x $ em $ X $. Portanto, o menor valor que $ f(x) + g(x) $ pode assumir, que é $ \inf(f + g) $, também deve ser maior ou igual a $ \inf(f) + \inf(g) $:
X

Passo 4

Agora, vamos buscar um exemplo onde a desigualdade é estrita, ou seja, $ \inf(f + g) > \inf(f) + \inf(g) $. Para isso, precisamos que haja pelo menos um ponto onde a soma $ f(x) + g(x) $ seja maior que $ \inf(f) + \inf(g) $.

Passo 5

Considere o conjunto $ X = \mathbb{R} $ e defina as funções $ f $ e $ g $ da seguinte maneira:
X = R
Vamos analisar os ínfimos individuais:
f á
g á
Mas perceba que aqui ambos os ínfimos são $ -\infty $, o que não nos ajuda muito. Vamos ajustar o exemplo para termos ínfimos finitos.

Passo 6

Vamos ajustar as funções para terem ínfimos finitos. Considere $ X = [0, 1] $ e defina:
X = [0, 1]
Agora, vamos calcular os ínfimos:
f(x) = x e g(x) = 1 - x á
inf(f) = 0 (já que $ x >= 0 $ e no ponto $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $) á
A soma das infimums é:
inf(g) = 0 (já que $ g(x) = 1 - x >= 0 $ e no ponto $ x = 1 $, $ g(1) = 0 $)

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \inf(f + g) $:
inf(f + g)
Isso significa que para todo $ x $ em $ [0, 1] $:
f(x) + g(x) = x + (1 - x) = 1
Portanto,
x
Comparando com a soma dos infimums:
[0, 1]

Resposta

Mostramos que $ \inf(f + g) = 1 $ é maior que $ \inf(f) + \inf(g) = 0 $ no exemplo dado. Assim, $ \inf(f + g) > \inf(f) + \inf(g) $.

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