Dadas as funções
limitadas inferiormente, isto é, as imagens são limitadas inferiormente. Prove que
Dê um exemplo onde temos:
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Dê um exemplo onde temos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem nessa questão são duas funções $ f $ e $ g $ que mapeiam um conjunto $ X $ para os números reais $ \mathbb{R} $. Essas funções são limitadas inferiormente, ou seja, elas não descem abaixo de certo valor. A tarefa aqui é mostrar que o ínfimo da soma dessas funções $ \inf(f+g) $ é maior ou igual à soma dos ínfimos individuais $ \inf(f) + \inf(g) $. Além disso, a gente precisa dar um exemplo onde essa desigualdade é estrita, ou seja, onde $ \inf(f+g) $ é realmente maior que $ \inf(f) + \inf(g) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ínfimo e como ele se comporta em somas de funções.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o ínfimo de uma função. O ínfimo $ \inf(f) $ de uma função $ f: X \rightarrow \mathbb{R} $ é o maior número $ m $ tal que $ m \leq f(x) $ para todo $ x $ em $ X $. Basicamente, é o menor valor que a função nunca alcança, mas sempre tem valores maiores ou iguais a ele.
Passo 3
Agora, vamos provar que $ \inf(f + g) \geq \inf(f) + \inf(g) $. Para isso, consideremos qualquer ponto $ x $ em $ X $. Sabemos que:
Somando essas desigualdades, temos:
Isso vale para todo $ x $ em $ X $. Portanto, o menor valor que $ f(x) + g(x) $ pode assumir, que é $ \inf(f + g) $, também deve ser maior ou igual a $ \inf(f) + \inf(g) $:
Passo 4
Agora, vamos buscar um exemplo onde a desigualdade é estrita, ou seja, $ \inf(f + g) > \inf(f) + \inf(g) $. Para isso, precisamos que haja pelo menos um ponto onde a soma $ f(x) + g(x) $ seja maior que $ \inf(f) + \inf(g) $.
Passo 5
Considere o conjunto $ X = \mathbb{R} $ e defina as funções $ f $ e $ g $ da seguinte maneira:
Vamos analisar os ínfimos individuais:
Mas perceba que aqui ambos os ínfimos são $ -\infty $, o que não nos ajuda muito. Vamos ajustar o exemplo para termos ínfimos finitos.
Passo 6
Vamos ajustar as funções para terem ínfimos finitos. Considere $ X = [0, 1] $ e defina:
Agora, vamos calcular os ínfimos:
A soma das infimums é:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \inf(f + g) $:
Isso significa que para todo $ x $ em $ [0, 1] $:
Portanto,
Comparando com a soma dos infimums:
Resposta
Mostramos que $ \inf(f + g) = 1 $ é maior que $ \inf(f) + \inf(g) = 0 $ no exemplo dado. Assim, $ \inf(f + g) > \inf(f) + \inf(g) $.