Dado alpha in R, prove que para todo x in R vale: x^2+alpha x+alpha^2 >= 0. =De

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão x^2+alpha x+alpha^2 é sempre não negativa para qualquer xinR. Vamos usar teoria de funções quadráticas e discriminante.

Passo 2

Definimos a função quadrática f(x)=x^2+alpha x+alpha^2. Aqui o coeficiente líder é a=1>0, o que significa que o gráfico de f é uma parábola voltada para cima.

Passo 3

Para que uma parábola de concavidade para cima seja não negativa em todos os x, basta que seu discriminante seja menor ou igual a zero. Calculamos:
De

Passo 4

Como De e a>0, conclui-se que f(x)>=0 para todo xinR.

Resposta

Para todo xinR vale x^2+alpha x+alpha^2>=0.

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