Dado
, prove que para todo
vale:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expressão
é sempre não negativa para qualquer
. Vamos usar teoria de funções quadráticas e discriminante.
Passo 2
Definimos a função quadrática
. Aqui o coeficiente líder é
, o que significa que o gráfico de
é uma parábola voltada para cima.
Passo 3
Para que uma parábola de concavidade para cima seja não negativa em todos os
, basta que seu discriminante seja menor ou igual a zero. Calculamos:
Passo 4
Como
e
, conclui-se que
para todo
.
Resposta
Para todo
vale
.