Dadas as funções f(x)=1x-4 e g(x)=x^2, Defina f(g(x)) e g(f(x)) e seus domínios.

Passo 1

A questão nos dá as funções f(x)=1x-4 e g(x)=x^2. O conteúdo aqui é composição de funções e domínio de funções. Vamos usar a definição de composição (fcirc g)(x)=f(g(x)) e a ideia de que o domínio de fcirc g é o conjunto de x em que x pertence ao domínio de g e g(x) pertence ao domínio de f.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(g(x)) usando substituição: em f(x)=1x-4, trocamos x por g(x)=x^2. Assim,
f(g(x))=1x^2-4

Passo 3

Para achar o domínio de f(g(x)), lembramos que o denominador não pode ser zero e que g(x) deve estar no domínio de f. Como x^2-4neq0, temos x^2neq4, isto é, xneq2 e xneq-2. Além disso, g(x)=x^2 está definido para todo x. Logo, o domínio de fcirc g é Rsetminus-2,2.

Passo 4

Agora calculamos g(f(x)). Em g(x)=x^2, substituímos x por f(x)=1x-4. Fica
g(f(x))=l(1x-4r)^2=1(x-4)^2

Passo 5

Para o domínio de g(f(x)), precisamos que f(x) esteja no domínio de g (que é todo R) e que x esteja no domínio de f. A restrição vem de f(x): x-4neq0, isto é, xneq4. Portanto, o domínio de gcirc f é Rsetminus4.

Resposta

f(g(x))=1x^2-4,;dom(fcirc g)=Rsetminus-2,2; g(f(x))=1(x-4)^2,;dom(gcirc f)=Rsetminus4

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