Dadas as funções
e
:
(a) Determine os conjuntos
e
.
(b) Determine os conjuntos
e
.
© Defina a função
e determine o conjunto
.
(d) Determine o intervalo onde
é contínua.
(a) Determine os conjuntos
(b) Determine os conjuntos
© Defina a função
(d) Determine o intervalo onde
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos duas funções
e nos pede:
(a) domínio e imagem de ;
(b) domínio e imagem de ;
© definir e achar o domínio de
;
(d) em que intervalo é contínua.
(a) domínio e imagem de
(b) domínio e imagem de
© definir
(d) em que intervalo
Conteúdo que a gente vai usar:
- Como achar domínio (cuidados com divisão por zero e raiz de número negativo).
- Como achar imagem de funções simples (analisando crescimento e extremos).
- Definição de composição de funções.
- Noções de continuidade em funções elementares.
Passo 2
(a) Domínio e imagem de
- Domínio
: a única restrição é não dividir por zero, ou seja .
Logo - Imagem
: como pode ficar arbitrariamente grande ou pequeno (tanto positivo quanto negativo), mas nunca vale zero, temos
Passo 3
(b) Domínio e imagem de
- Domínio
: a raiz existe só se o radicando for não negativo, .
Isso dáou seja - Imagem
: para , a quantidade varia de (quando ) até (quando ). Depois subtraímos 1, então Logo
Passo 4
© Definindo
e seu domínio
A composição é
Agora o domínio de
tem duas condições:
-
deve pertencer ao domínio de , ou seja . - O denominador de
não pode ser zero, ou seja
Unindo as duas:
Passo 5
(d) Intervalos de continuidade de
Funções elementares (raiz e divisão por expressão não nula) são contínuas onde estão definidas. Como em
só tiramos o ponto
, a função é contínua em cada pedaço do domínio, ou seja em
Resposta
(a)
(b)
©
(d) é contínua nos intervalos
e
.
(b)
©
(d)