Dadas as funções f(x)=1x-2 e g(x)=raiz2-x-1 :
(a) Determine os conjuntos D(f) e Im(f).
(b) Determine os conjuntos D(g) e Im(g).
© Defina a função f circ g e determine o conjunto D(f circ g).
(d) Determine o intervalo onde f circ g é contínua.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos duas funções
f(x) = 1x - 2 e g(x) = raiz2 - x ;-; 1
e nos pede:
(a) domínio e imagem de ;
(b) domínio e imagem de ;
© definir e achar o domínio de ;
(d) em que intervalo é contínua.
Conteúdo que a gente vai usar:
  • Como achar domínio (cuidados com divisão por zero e raiz de número negativo).
  • Como achar imagem de funções simples (analisando crescimento e extremos).
  • Definição de composição de funções.
  • Noções de continuidade em funções elementares.

Passo 2

(a) Domínio e imagem de D(f) = xinR : x neq 2 = Rsetminus2
  1. Domínio Im(f) = Rsetminus0 : a única restrição é não dividir por zero, ou seja .
    Logo
  2. Imagem : como pode ficar arbitrariamente grande ou pequeno (tanto positivo quanto negativo), mas nunca vale zero, temos

Passo 3

(b) Domínio e imagem de x <= 2,
  1. Domínio D(g) = (-infty,,2] : a raiz existe só se o radicando for não negativo, raiz2-xin[0,infty) ;Longrightarrow; raiz2-x-1in[-1,infty) .
    Isso dá Im(g) = [-1,,infty) ou seja
  2. Imagem : para , a quantidade varia de (quando ) até (quando ). Depois subtraímos 1, então Logo

Passo 4

© Definindo (fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = 1;g(x);-;2; = 1l(raiz2-x-1r)-2 = 1raiz2-x - 3 e seu domínio
A composição é
raiz2-x-3 neq 0 Longrightarrow raiz2-x neq 3 Longrightarrow 2 - x neq 9 Longrightarrow x neq -7
Agora o domínio de D(fcirc g) = ,x<=2setminus-7 = (-infty, -7);cup;(-7,2] tem duas condições:
  1. deve pertencer ao domínio de , ou seja .
  2. O denominador de não pode ser zero, ou seja
Unindo as duas:

Passo 5

(d) Intervalos de continuidade de (-infty, -7) e (-7, 2]
Funções elementares (raiz e divisão por expressão não nula) são contínuas onde estão definidas. Como em só tiramos o ponto , a função é contínua em cada pedaço do domínio, ou seja em

Resposta

(a)
(b)
©
(d) é contínua nos intervalos e .

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