Dadas as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{x-2}{x-1}, encontre:
A função soma f+g.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}
e pede a função soma (f+g)(x).
O conteúdo aqui é operação entre funções: definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x) e depois simplificamos a expressão resultante.

Passo 2

Pela definição de soma de funções, para todo x em que ambas estão definidas, vale
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,.
Como f está definida em \mathbb{R} e g em \mathbb{R}\setminus\{1\}, o domínio de f+g é
\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Substituindo as fórmulas, temos
(f+g)(x)=x^{2}-1+\frac{x-2}{x-1}.
Para somar as parcelas, escrevemos x^{2}-1 com denominador comum x-1:
x^{2}-1=\frac{(x^{2}-1)(x-1)}{x-1}.
Logo
(f+g)(x) =\frac{(x^{2}-1)(x-1)+(x-2)}{x-1}.

Passo 4

Expandindo o numerador:
(x^{2}-1)(x-1)=x^{3}-x^{2}-x+1 \quad\text{e}\quad (x^{3}-x^{2}-x+1)+(x-2)=x^{3}-x^{2}-1.
Portanto
(f+g)(x) =\frac{x^{3}-x^{2}-1}{x-1}, \quad x\neq1.

Resposta

(f+g)(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-1}{x-1}, \quad \mathrm{Dom}(f+g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

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