Dadas as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{x-2}{x-1}, encontre:
A função composta f \circ g.

Passo 1

O enunciado pede a composição das funções
f(x) = x^{2} - 1
e
g(x) = \frac{x - 2}{x - 1}.
O conteúdo envolvido é composição de funções, isto é, substituir g(x) em f e depois simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Pela definição de composição,
(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(g(x)\bigr)^{2} - 1.
Substituindo g(x):
(f \circ g)(x) = \left(\frac{x - 2}{x - 1}\right)^{2} - 1.

Passo 3

Para somar a fração com -1 fazemos denominação comum:
\left(\frac{x - 2}{x - 1}\right)^{2} - 1 = \frac{(x - 2)^{2}}{(x - 1)^{2}} - \frac{(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}} = \frac{(x - 2)^{2} - (x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}}.

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
(x - 2)^{2} - (x - 1)^{2} = \bigl(x^{2} - 4x + 4\bigr) - \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr) = -2x + 3.
Logo,
(f \circ g)(x) = \frac{-2x + 3}{(x - 1)^{2}} = \frac{3 - 2x}{(x - 1)^{2}}.

Resposta

(f \circ g)(x) = \frac{3 - 2x}{(x - 1)^{2}}.

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