Dadas as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{x-2}{x-1}, encontre:
A função composta g \circ f.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{x-2}{x-1} e pede a composição g\circ f. Esse conteúdo envolve substituir a expressão de f(x) como entrada de g.

Passo 2

Pela definição de composição de funções, temos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 3

Substituindo f(x) em g, obtemos
(g\circ f)(x)=\frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)-2}{\bigl(x^{2}-1\bigr)-1}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador e o denominador:
(g\circ f)(x)=\frac{x^{2}-3}{x^{2}-2}.

Passo 5

Para o domínio de g\circ f, lembramos que g(y) não está definida em y=1. Logo, requeremos
f(x)\neq1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1\neq1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq2\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm\sqrt{2}.

Resposta

(g\circ f)(x)=\frac{x^{2}-3}{x^{2}-2},\quad x\in\mathbb{R}\setminus\{\,-\sqrt{2},\sqrt{2}\}\,.

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