Questão
: Uma corda de comprimento L tem suas extremidades livres para se mover ao longo de trilhos perpendiculares à corda de modo que as condições de fronteira são
. Aqui,
é a função que descreve o deslocamento vertical da corda e satisfaz a equação
. Determine todas as soluções da forma
, desenvolvendo em detalhes o método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede as soluções separáveis da equação da corda
com condições de Neumann
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(não triviais) vem
onde
é constante de separação. Assim ficamos com os dois ODEs
Passo 3
As condições de fronteira dão
Agora analisamos três casos para
:
Caso
. Escreva
. A equação de
fica
, cujas soluções são exponenciais. Impondo
e
leva a única solução trivial
.
Caso
. A equação
dá
A condição
e
impõem
, restando
constante. É um modo estacionário.
Caso
. Escreva
. Então
e
Impor
dá
. A segunda condição
impõe
, ou seja
Logo os autovalores são
com autofunções
Passo 4
Agora resolvemos
para cada caso:
- Para
:
Combina com
constante para dar o modo
- Para
:
Assim os modos normais são
Resposta
Todas as soluções separáveis são:
onde
são constantes arbitrárias.