Questão 2(\mathbf{3 , 0}) : Uma corda de comprimento L tem suas extremidades livres para se mover ao longo de trilhos perpendiculares à corda de modo que as condições de fronteira são u_{x}(0, t)=u_{x}(L, t)=0. Aqui, u(x, t) é a função que descreve o deslocamento vertical da corda e satisfaz a equação u_{t t}=u_{x x}. Determine todas as soluções da forma u(x, t)=X(x) T(t), desenvolvendo em detalhes o método de separação de variáveis.

Passo 1

O enunciado pede as soluções separáveis da equação da corda
u_{tt} = u_{xx}
com condições de Neumann
u_x(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0.
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo
u(x,t)=X(x)\,T(t).

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) em u_{tt}=u_{xx} obtemos
X(x)\,T''(t) = X''(x)\,T(t).
Dividindo por X(x)\,T(t) (não triviais) vem
\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Assim ficamos com os dois ODEs
X''(x) + \lambda\,X(x)=0, \quad T''(t) + \lambda\,T(t)=0.

Passo 3

As condições de fronteira dão
X'(0)=0, \quad X'(L)=0.
Agora analisamos três casos para \lambda:
Caso \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^2. A equação de X fica X''-\mu^2X=0, cujas soluções são exponenciais. Impondo X'(0)=0 e X'(L)=0 leva a única solução trivial X\equiv0.
Caso \lambda=0. A equação X''=0
X(x)=A + Bx.
A condição X'(0)=B=0 e X'(L)=B=0 impõem B=0, restando X(x)=A constante. É um modo estacionário.
Caso \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^2. Então
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x),
e
X'(x)=-A\,\mu\sin(\mu x)+B\,\mu\cos(\mu x).
Impor X'(0)=B\,\mu=0 B=0. A segunda condição
X'(L)=-A\,\mu\sin(\mu L)=0
impõe \sin(\mu L)=0, ou seja
\mu L = n\pi, \quad n=1,2,3,\dots \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{n\pi}{L}.
Logo os autovalores são
\lambda_n = \Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^2,
com autofunções
X_n(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr), \quad n=1,2,\dots

Passo 4

Agora resolvemos T''+\lambda T=0 para cada caso:
  • Para \lambda=0:
T''(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T(t)=C + D\,t.
Combina com X(x)= constante para dar o modo
u_0(x,t)=A\,(C + D\,t).
  • Para \lambda_n=(n\pi/L)^2:
T_n''(t) + \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^2 T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=C_n\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\Bigr)+D_n\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\Bigr).
Assim os modos normais são
u_n(x,t) =\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\Bigl[C_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\bigr) +D_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\bigr)\Bigr], \quad n=1,2,\dots

Resposta

Todas as soluções separáveis são:
u_0(x,t) = A\,(C + D\,t),
u_n(x,t) =\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\Bigl[C_n\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr) + D_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr)\Bigr], \quad n=1,2,3,\dots,
onde A,C,D,C_n,D_n são constantes arbitrárias.

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