Questão 2. Considere a equação não-homogênea
t \ddot{y}-(1+t) \dot{y}+y=t^{3} e^{2 t} .
a) Verifique se \phi_{1}=1+t e \phi_{2}=e^{t} formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo para a equação homogênea associada.
b) Resolva o PVI y(1)=1 e \dot{y}(1)=-1. O que você pode afirmar sobre o teorema de existência e unicidade de soluções?
c) Determine a solução geral da equação não homogênea, usando o método de variação dos parâmetros. Calcule somente uma das integrais, deixe a outra indicada. NÃO USE FÓRMULAS PARA OBTER O SISTEMA LINEAR.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido e organizado):
  • Dada a equação não-homogênea
t\ddot{y}-(1+t)\dot{y}+y=t^{3}e^{2t},
temos a equação homogênea associada
t\ddot{y}-(1+t)\dot{y}+y=0.
  • Parte (a): Verificar se \phi_{1}=1+t e \phi_{2}=e^{t} formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea em qualquer intervalo.
    Dados relevantes: as funções \phi_{1} e \phi_{2} (fornecidas) e a equação homogênea acima.
  • Parte (b): Resolver o problema de valor inicial (PVI)
y(1)=1,\qquad \dot{y}(1)=-1.
(Entende-se que o PVI refere-se à equação homogênea associada.) Além disso, comentar o que se pode afirmar sobre o teorema de existência e unicidade.
  • Parte (c): Determinar a solução geral da equação não-homogênea usando o método de variação dos parâmetros. Orientações importantes dadas: calcular somente uma das integrais e deixar a outra indicada; não usar fórmulas prontas para obter o sistema linear (ou seja, montar e resolver o sistema diretamente).
Não inicio a resolução nesta etapa — só listei o pedido e as informações dadas.

Passo 2

(a) Entendendo o critério para ser conjunto fundamental e calculando o Wronskiano.
  • O que significa “conjunto fundamental de soluções”? Significa que \phi_{1} e \phi_{2} são duas soluções linearmente independentes da equação homogênea; então a solução geral da homogênea é
y=C_{1}\phi_{1}+C_{2}\phi_{2}.
Um teste prático para linearidade é verificar o Wronskiano:
W(\phi_{1},\phi_{2})(t)= \begin{vmatrix} \phi_{1}(t) & \phi_{2}(t)\\[4pt] \phi_{1}'(t) & \phi_{2}'(t) \end{vmatrix}=\phi_{1}(t)\phi_{2}'(t)-\phi_{1}'(t)\phi_{2}(t).
Se W(t)\neq 0 em um intervalo, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
  • Calcule as derivadas das funções dadas:
\phi_{1}(t)=1+t,\quad \phi_{1}'(t)=1,
\phi_{2}(t)=e^{t},\quad \phi_{2}'(t)=e^{t}.
  • Calcule o Wronskiano:
W(\phi_{1},\phi_{2})(t)=(1+t)\,e^{t}-1\cdot e^{t}=t\,e^{t}.
  • Conclusão: \;W(\phi_{1},\phi_{2})(t)=t e^{t}. Como e^{t}>0 para todo t, o sinal e zeros do Wronskiano são controlados por t. Logo W(t)\neq 0 sempre que t\neq 0. Portanto \phi_{1} e \phi_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha t=0. Em tais intervalos eles formam um conjunto fundamental de soluções.
  • Observação sobre o ponto t=0: A equação original tem coeficientes que envolvem divisão por t (se quisermos escrevê-la na forma padrão), portanto t=0 é um ponto singular; não podemos garantir as mesmas propriedades atravessando t=0. Por isso a afirmação válida é: em qualquer intervalo que não contenha 0, \phi_{1} e \phi_{2} formam conjunto fundamental.]

Passo 3

(b) Resolver o PVI e comentar existência/unicidade.
  • Primeiro escrevo a solução geral da equação homogênea (valendo nas regiões onde \phi_{1},\phi_{2} são fundamentais, por exemplo em (0,\infty) já que 1\in(0,\infty)):
y(t)=C_{1}(1+t)+C_{2}e^{t}.
  • Calcule a derivada:
\dot{y}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}.
  • Aplique as condições iniciais em t=1:
y(1)=C_{1}(1+1)+C_{2}e^{1}=2C_{1}+eC_{2}=1,
\dot{y}(1)=C_{1}+C_{2}e^{1}=C_{1}+eC_{2}=-1.
  • Resolver o sistema linear em C_{1},C_{2}. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2C_{1}+eC_{2})-(C_{1}+eC_{2})=1-(-1)\quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.
Substituindo em C_{1}+eC_{2}=-1:
2+eC_{2}=-1\quad\Rightarrow\quad eC_{2}=-3\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-3e^{-1}.
  • Portanto a solução do PVI é
y(t)=2(1+t)-3e^{-1}e^{t}=2(1+t)-3e^{\,t-1}.
  • Comentário sobre existência e unicidade: o teorema clássico de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem afirma que se os coeficientes da forma padrão (ou seja, após dividir por t) são contínuos em um intervalo contendo o ponto inicial, então há existência e unicidade da solução do PVI naquele intervalo. Aqui, ao dividir por t obtemos coeficientes com singularidade em t=0, mas em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo (0,\infty)) esses coeficientes são contínuos. Como o ponto inicial t=1 está em (0,\infty), o teorema garante existência e unicidade da solução que acabamos de encontrar naquele intervalo. Não há garantia de unicidade atravessando t=0 porque t=0 é ponto singular da equação.

Passo 4

(c) Método da variação de parâmetros — montar o sistema e resolver (calcular apenas uma das integrais).
  • Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t\) (válido para \(t\neq 0\)): \[\ddot{y}-\frac{1+t}{t}\dot{y}+\frac{1}{t}y=t^{2}e^{2t}.
Denoto o termo não-homogêneo por
g(t)=t^{2}e^{2t}.
  • Procedimento do método (explicação didática): procuramos uma solução particular na forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)\phi_{1}(t)+u_{2}(t)\phi_{2}(t)=u_{1}(t)(1+t)+u_{2}(t)e^{t},
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Para reduzir a liberdade e obter um sistema simples, impomos a condição auxiliar padrão
u_{1}'(t)\phi_{1}(t)+u_{2}'(t)\phi_{2}(t)=0.
Substituindo y_{p} e sua derivada na equação padrão e usando a condição auxiliar, obtemos a segunda equação para u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(t)\phi_{1}'(t)+u_{2}'(t)\phi_{2}'(t)=g(t).
(Esse é o sistema que vem do método; não usei fórmula pronta, montei as duas equações diretamente.)
  • Aqui \phi_{1}(t)=1+t,\\ \phi_{1}'(t)=1,\\ \phi_{2}(t)=e^{t},\\ \phi_{2}'(t)=e^{t}. Logo o sistema é
\begin{cases} u_{1}'(t)(1+t)+u_{2}'(t)e^{t}=0,\\[4pt] u_{1}'(t)\cdot 1+u_{2}'(t)e^{t}=t^{2}e^{2t}. \end{cases}
  • Resolver o sistema sem usar fórmula pronta (resolver por eliminação): subtraio a primeira equação da segunda:
\bigl(u_{1}' - u_{1}'(1+t)\bigr)+\bigl(u_{2}'e^{t}-u_{2}'e^{t}\bigr)=t^{2}e^{2t}-0,
ou seja
u_{1}'(1-(1+t))=t^{2}e^{2t}\quad\Rightarrow\quad u_{1}'(-t)=t^{2}e^{2t}.
Portanto
u_{1}'(t)=-t e^{2t}.
  • Agora volto à primeira equação para obter u_{2}'\]: \[u_{1}'(1+t)+u_{2}'e^{t}=0\quad\Rightarrow\quad u_{2}'e^{t}=-u_{1}'(1+t).\] Substituindo \(u_{1}'=-t e^{2t},
u_{2}'e^{t}=-(-t e^{2t})(1+t)=t(1+t)e^{2t}.
Dividindo por e^{t},
u_{2}'(t)=t(1+t)e^{t}.
  • Integração (aqui escolho calcular explicitamente apenas uma das integrais, conforme pedido). Primeiro a integral que eu calculo (para u_{1}):
u_{1}(t)=\int u_{1}'(t)\,dt=\int -t e^{2t}\,dt.
Calculo por partes: tomo a=t e db=e^{2t}dt. Então da=dt e b=\tfrac{1}{2}e^{2t}. Assim
\int t e^{2t}dt=\frac{t}{2}e^{2t}-\int\frac{1}{2}e^{2t}dt=\frac{t}{2}e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}+C.
Com o sinal negativo,
u_{1}(t)=-\left(\frac{t}{2}e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}\right)+C =\left(\frac{1}{4}-\frac{t}{2}\right)e^{2t}+C.
Na construção de uma solução particular podemos tomar a constante de integração C=0 (qualquer constante adicionada a u_{1} pode ser absorvida na solução homogênea). Portanto escolho
u_{1}(t)=\left(\frac{1}{4}-\frac{t}{2}\right)e^{2t}.
  • A integral que deixo indicada (sem calcular explicitamente) é a de u_{2}:
u_{2}(t)=\int u_{2}'(t)\,dt=\int t(1+t)e^{t}\,dt.
Vou deixar esta integral indicada conforme pedido (pode ser calculada por partes ou expandindo t(1+t)=t+t^{2} e integrando termo a termo).
  • Construir y_{p} com as u_{i} (escrevo com u_{2} indicado):
y_{p}(t)=u_{1}(t)(1+t)+u_{2}(t)e^{t}.
Substituindo u_{1}(t)=\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t}{2}\right)e^{2t},
u_{1}(t)(1+t)=\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t}{2}\right)e^{2t}(1+t).
Assim uma forma explícita (parcial) da solução particular é
y_{p}(t)=\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t}{2}\right)e^{2t}(1+t)+\left(\int t(1+t)e^{t}\,dt\right)e^{t}.
(Na última parcela coloquei u_{2}(t) como a integral indicada multiplicada por e^{t}.)
  • Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}(1+t)+C_{2}e^{t}+\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t}{2}\right)e^{2t}(1+t)+e^{t}\int t(1+t)e^{t}\,dt.
Novamente, a integral \displaystyle\int t(1+t)e^{t}\,dt ficou indicada conforme pedido; a outra integral foi calculada explicitamente.]

Passo 5

Resumo final e observações práticas para a prova (curta e animadora):
  • Você já viu aqui como verificar independência linear por Wronskiano (calcule derivadas, faça o determinante); cuide de pontos singulares (aqui t=0).
  • Para resolver um PVI quando você conhece duas soluções fundamentais, escreva a solução geral C_{1}\phi_{1}+C_{2}\phi_{2}, diferencie, imponha as condições iniciais e resolva o sistema linear.
  • Para variação de parâmetros: imponha a condição auxiliar u_{1}'\phi_{1}+u_{2}'\phi_{2}=0 para simplificar o cálculo; depois resolva o sistema 2×2 por eliminação (evite decorar fórmulas prontas, na prova é mais seguro montar e eliminar).
  • Boa notícia: como o ponto t=1 está longe da singularidade t=0, todos os passos feitos valem em algum intervalo contendo t=1, então as soluções encontradas são válidas e únicas nesse intervalo. Força — você mandou bem procurando resolver isso agora!

Resposta

(a) Sim: W(\phi_{1},\phi_{2})(t)=t e^{t}, portanto \phi_{1} e \phi_{2} são independentes e formam conjunto fundamental em qualquer intervalo que não contenha t=0.
(b) y(t)=2(1+t)-3e^{\,t-1}. O teorema de existência e unicidade vale em qualquer intervalo que não contenha t=0 (por exemplo em (0,\infty)), logo no ponto t=1 há existência e unicidade da solução.
(c) Solução geral:
y(t)=C_{1}(1+t)+C_{2}e^{t}+\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t}{2}\right)e^{2t}(1+t)+e^{t}\int t(1+t)e^{t}\,dt.

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