(5 pontos) Considere f(x, y)=1-x^{2}-y^{2} :
(a) Determine f(2,3).
(b) Determine o domínio de f.
(c) Determine a imagem de f.
(d) Desenhe as curvas de nível de f (ao menos três curvas distintas).
(e) Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de f.
(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f ?
(g) Determine \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=1-x^{2}-y^{2} e pede as seguintes coisas:
(a) Calcular f(2,3).
(b) Determinar o domínio de f.
(c) Determinar a imagem (conjunto de valores) de f.
(d) Desenhar (ou descrever) curvas de nível de f — ao menos três curvas distintas.
(e) Determinar as derivadas parciais de 1ª ordem de f.
(f) Dizer algo sobre a diferenciabilidade de f.
(g) Determinar \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f em termos de x e y. Não há restrições adicionais sobre x ou y no enunciado.

Passo 2

(a) Calcular f(2,3).
Explicação / técnica usada: para obter o valor de f num ponto, substituímos x e y pelos números dados na fórmula. Não há nada de especial — é só avaliação de uma expressão algébrica.
Cálculo detalhado:
f(2,3)=1-(2)^{2}-(3)^{2}=1-4-9.
Portanto,
f(2,3)=1-13=-12.

Passo 3

(b) Determinar o domínio de f.
Conceito lembrado: o domínio de uma função f(x,y) é o conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida).
Aqui a expressão é um polinômio em x e y: 1-x^{2}-y^{2}. Polinômios são definidos para quaisquer números reais x e y. Logo não há restrição.
Conclusão:
\text{Domínio}=\mathbb{R}^{2}=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\}.í

Passo 4

(c) Determinar a imagem de f.
Explicação do raciocínio: a imagem é o conjunto de valores possíveis de f(x,y) quando (x,y) percorre todo o domínio. Note que x^{2}+y^{2} é sempre \ge 0. Escrevemos
f(x,y)=1-(x^{2}+y^{2}).
Como r:=x^{2}+y^{2} percorre o intervalo [0,\infty), os valores de f são 1-r com r\in[0,\infty). Assim 1-r percorre (-\infty,1]. O maior valor ocorre quando r=0 (isto é, em (0,0)), dando f(0,0)=1. Não há limite inferior — conforme r\to\infty, 1-r\to -\infty.
Conclusão:
\text{Imagem} = (-\infty,\,1].

Passo 5

(d) Curvas de nível de f.
Definição e técnica: uma curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Aqui resolvemos 1-x^{2}-y^{2}=c, ou seja
x^{2}+y^{2}=1-c.
Isso é a equação de um círculo centrado na origem com raio \sqrt{1-c}, desde que 1-c\ge 0. Se 1-c<0 não existe ponto real (curva vazia). Portanto as curvas de nível são círculos concêntricos (ou o ponto originário quando o raio é zero). Exemplos concretos (três curvas distintas e uma extra útil):
  • Para c=1: x^{2}+y^{2}=0. Essa curva é apenas o ponto (0,0) (raio 0).
  • Para c=0: x^{2}+y^{2}=1. Círculo unitário centrado na origem (raio 1).
  • Para c=-3: x^{2}+y^{2}=4. Círculo de raio 2.
    Observação adicional: o ponto (2,3) tem x^{2}+y^{2}=13, logo f(2,3)=-12 corresponde à curva de nível x^{2}+y^{2}=13 (raio \sqrt{13}).
    Descrição geométrica (como desenhar): desenhe círculos centrados na origem com raios 0,1,2,\sqrt{13},\dots. Os níveis maiores de f ficam mais próximos do centro (valor máximo 1 no centro); níveis menores formam círculos cada vez maiores.

Passo 6

(e) Derivadas parciais de 1ª ordem de f.
Conceito básico: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \partial f/\partial x ou f_{x}, é a derivada da função quando diferenciamos em x tratando y como constante. Analogamente para \partial f/\partial y tratando x como constante. Para polinômios isso é direto.
Cálculos passo a passo:
  • Diferenciando f(x,y)=1-x^{2}-y^{2} em relação a x (com y constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0-2x-0=-2x.
  • Diferenciando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=0-0-2y=-2y.
Podemos também escrever o gradiente:
\nabla f(x,y)=\bigl(\,-2x,\,-2y\,\bigr).

Passo 7

(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
Explicação: uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por uma aplicação linear (o diferencial) naquele ponto — concretamente, se as derivadas parciais existem num entorno e a aproximação linear por \nabla f tem erro pequeno (ordem menor que a distância). Uma condição prática muito usada é: se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou num aberto), então f é diferenciável nesse ponto (teorema padrão).
No nosso caso as derivadas parciais -2x e -2y são funções polinomiais, portanto existem e são contínuas para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Assim f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Na verdade, sendo polinomial, f é infinitamente diferenciável ( C^{\infty}) — todas as derivadas de qualquer ordem existem e são contínuas.
Resumo: f é diferenciável em todo o plano; é C^{\infty}.

Passo 8

(g) Determinar \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}.
Interpretação: \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} significa primeiro derivar duas vezes em x e depois uma vez em y. Notação equivalente: f_{xxy}. Vamos calcular por etapas, usando os resultados já obtidos:
  1. Já temos f_{x}=-2x.
  2. Derivando novamente em x: f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2.
  3. Agora derivamos f_{xx} em relação a y: como f_{xx}=-2 é constante e não depende de y,
f_{xxy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_{xx})=\frac{\partial}{\partial y}(-2)=0.
Portanto o resultado é 0. (Consistência: qualquer derivada mista de ordem superior que envolva derivar uma constante em relação a qualquer variável dará 0.)

Resposta

(a) -12
(b) \mathbb{R}^{2}
(c) (-\infty,\,1]
(d) Curvas de nível: x^{2}+y^{2}=1-c. Exemplos: c=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=0 (ponto (0,0)); c=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 (círculo raio 1); c=-3\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4 (círculo raio 2).
(e) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y
(f) f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}; na verdade f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2}).
(g) \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=0

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