(5 pontos) Considere
:
(a) Determine
.
(b) Determine o domínio de
.
(c) Determine a imagem de
.
(d) Desenhe as curvas de nível de
(ao menos três curvas distintas).
(e) Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de
.
(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de
?
(g) Determine
.
(a) Determine
(b) Determine o domínio de
(c) Determine a imagem de
(d) Desenhe as curvas de nível de
(e) Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de
(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de
(g) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as seguintes coisas:
(a) Calcular .
(b) Determinar o domínio de .
(c) Determinar a imagem (conjunto de valores) de .
(d) Desenhar (ou descrever) curvas de nível de — ao menos três curvas distintas.
(e) Determinar as derivadas parciais de 1ª ordem de .
(f) Dizer algo sobre a diferenciabilidade de .
(g) Determinar .
(a) Calcular
(b) Determinar o domínio de
(c) Determinar a imagem (conjunto de valores) de
(d) Desenhar (ou descrever) curvas de nível de
(e) Determinar as derivadas parciais de 1ª ordem de
(f) Dizer algo sobre a diferenciabilidade de
(g) Determinar
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
em termos de
e
. Não há restrições adicionais sobre
ou
no enunciado.
Passo 2
(a) Calcular
.
Explicação / técnica usada: para obter o valor de num ponto, substituímos
e
pelos números dados na fórmula. Não há nada de especial — é só avaliação de uma expressão algébrica.
Cálculo detalhado:
Explicação / técnica usada: para obter o valor de
Cálculo detalhado:
Portanto,
Passo 3
(b) Determinar o domínio de
.
Conceito lembrado: o domínio de uma função é o conjunto de pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida).
Aqui a expressão é um polinômio em e
:
. Polinômios são definidos para quaisquer números reais
e
. Logo não há restrição.
Conclusão:
Conceito lembrado: o domínio de uma função
Aqui a expressão é um polinômio em
Conclusão:
Passo 4
(c) Determinar a imagem de
.
Explicação do raciocínio: a imagem é o conjunto de valores possíveis de quando
percorre todo o domínio. Note que
é sempre
. Escrevemos
Explicação do raciocínio: a imagem é o conjunto de valores possíveis de
Como
percorre o intervalo
, os valores de
são
com
. Assim
percorre
. O maior valor ocorre quando
(isto é, em
), dando
. Não há limite inferior — conforme
,
.
Conclusão:
Conclusão:
Passo 5
(d) Curvas de nível de
.
Definição e técnica: uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos
tais que
. Aqui resolvemos
, ou seja
Definição e técnica: uma curva de nível para um valor
Isso é a equação de um círculo centrado na origem com raio
, desde que
. Se
não existe ponto real (curva vazia). Portanto as curvas de nível são círculos concêntricos (ou o ponto originário quando o raio é zero). Exemplos concretos (três curvas distintas e uma extra útil):
- Para
: . Essa curva é apenas o ponto (raio ). - Para
: . Círculo unitário centrado na origem (raio ). - Para
: . Círculo de raio .
Observação adicional: o pontotem , logo corresponde à curva de nível (raio ).
Descrição geométrica (como desenhar): desenhe círculos centrados na origem com raios. Os níveis maiores de ficam mais próximos do centro (valor máximo no centro); níveis menores formam círculos cada vez maiores.
Passo 6
(e) Derivadas parciais de 1ª ordem de
.
Conceito básico: a derivada parcial de em relação a
, denotada
ou
, é a derivada da função quando diferenciamos em
tratando
como constante. Analogamente para
tratando
como constante. Para polinômios isso é direto.
Cálculos passo a passo:
Conceito básico: a derivada parcial de
Cálculos passo a passo:
- Diferenciando
em relação a (com constante):
- Diferenciando em relação a
(com constante):
Podemos também escrever o gradiente:
Passo 7
(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de
?
Explicação: uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por uma aplicação linear (o diferencial) naquele ponto — concretamente, se as derivadas parciais existem num entorno e a aproximação linear por tem erro pequeno (ordem menor que a distância). Uma condição prática muito usada é: se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou num aberto), então
é diferenciável nesse ponto (teorema padrão).
No nosso caso as derivadas parciais e
são funções polinomiais, portanto existem e são contínuas para todos
. Assim
é diferenciável em todo
. Na verdade, sendo polinomial,
é infinitamente diferenciável (
) — todas as derivadas de qualquer ordem existem e são contínuas.
Resumo: é diferenciável em todo o plano; é
.
Explicação: uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser bem aproximada por uma aplicação linear (o diferencial) naquele ponto — concretamente, se as derivadas parciais existem num entorno e a aproximação linear por
No nosso caso as derivadas parciais
Resumo:
Passo 8
(g) Determinar
.
Interpretação: significa primeiro derivar duas vezes em
e depois uma vez em
. Notação equivalente:
. Vamos calcular por etapas, usando os resultados já obtidos:
Interpretação:
- Já temos
. - Derivando novamente em
: . - Agora derivamos
em relação a : como é constante e não depende de ,
Portanto o resultado é
. (Consistência: qualquer derivada mista de ordem superior que envolva derivar uma constante em relação a qualquer variável dará
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Curvas de nível: . Exemplos:
(ponto
);
(círculo raio
);
(círculo raio
).
(e)
(f) é diferenciável em todo
; na verdade
.
(g)
(b)
(c)
(d) Curvas de nível:
(e)
(f)
(g)