Dadas as funções
f(x)=\sqrt{x+1} e g(x)=\frac{x-2}{x+3}, determine:
(d)
(g \circ g)(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular (g\circ g)(x), ou seja, aplicar g sobre o valor g(x). A função dada é
g(x)=\frac{x-2}{x+3}.
Informações relevantes:
  • A tarefa é encontrar uma expressão fechada para (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Devemos também prestar atenção ao domínio: valores de x que tornam alguma expressão indefinida (divisão por zero) devem ser excluídos.

Passo 2

Lembrete didático sobre composição de funções:
  • A composição (g\circ g)(x) significa primeiro calcular g(x) e depois calcular g desse resultado, isto é g(g(x)).
  • Para que g(g(x)) esteja bem definida é preciso que:
    1. x pertença ao domínio de g (o valor g(x) exista);
    2. g(x) pertença ao domínio de g (possa-se aplicar g novamente).
  • Vamos primeiro identificar o domínio de g. A única restrição vem do denominador x+3, então:
\text{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3\}.

Passo 3

Agora verificamos a segunda condição: quais x fazem g(x)=-3 (esses x não podem estar na composição porque g(x)=-3 tornaria o denominador do g externo zero). Resolva
\frac{x-2}{x+3} = -3.
Fazendo as contas:
x-2 = -3(x+3)
x-2 = -3x -9
x+3x = -9 + 2
4x = -7
x = -\tfrac{7}{4}.
Portanto g(x)=-3 acontece em x=-\tfrac{7}{4}. Concluímos que, para a composição, devemos excluir x=-3 (domínio original) e x=-\tfrac{7}{4} (faz g(x)=-3). Anotando já:
x\neq -3,\qquad x\neq -\tfrac{7}{4}.

Passo 4

Vamos calcular a composição simbolicamente. Por definição,
(g\circ g)(x)=g(g(x))=\frac{g(x)-2}{g(x)+3}.
Substituímos g(x)=\dfrac{x-2}{x+3} e calculamos separadamente numerador e denominador.

Passo 5

Calcule o numerador g(x)-2:
g(x)-2=\frac{x-2}{x+3}-2=\frac{x-2-2(x+3)}{x+3}.
Continuando a simplificação:
x-2-2(x+3)=x-2-2x-6=-x-8,
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g(x)-2=\frac{-x-8}{x+3}.

Passo 6

Calcule o denominador g(x)+3:
g(x)+3=\frac{x-2}{x+3}+3=\frac{x-2+3(x+3)}{x+3}.
Simplificando o numerador:
x-2+3(x+3)=x-2+3x+9=4x+7,
portanto
g(x)+3=\frac{4x+7}{x+3}.

Passo 7

Agora forme a razão:
(g\circ g)(x)=\frac{g(x)-2}{g(x)+3}=\frac{\dfrac{-x-8}{x+3}}{\dfrac{4x+7}{x+3}}.
Como x\neq -3 (já excluído do domínio), podemos cancelar o fator (x+3) no numerador e no denominador, obtendo
(g\circ g)(x)=\frac{-x-8}{4x+7}.
Opcionalmente podemos tirar o sinal negativo do numerador:
(g\circ g)(x)=-\frac{x+8}{4x+7}.

Passo 8

Resumo da expressão final e do domínio:
  • Expressão simplificada: (g\circ g)(x)=\dfrac{-x-8}{4x+7}.
  • Domínio: todos os x reais exceto aqueles que anulam um denominador em algum passo, ou seja
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-3,-\tfrac{7}{4}\right\}.

Resposta

(g\circ g)(x)=\dfrac{-x-8}{4x+7}
\text{Domínio: }x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-3,-\tfrac{7}{4}\right\}í

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