Dadas as funções
e
, determine:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, ou seja, aplicar
sobre o valor
. A função dada é
Informações relevantes:
- A tarefa é encontrar uma expressão fechada para
. - Devemos também prestar atenção ao domínio: valores de
que tornam alguma expressão indefinida (divisão por zero) devem ser excluídos.
Passo 2
Lembrete didático sobre composição de funções:
- A composição
significa primeiro calcular e depois calcular desse resultado, isto é . - Para que
esteja bem definida é preciso que: -
pertença ao domínio de (o valor exista); -
pertença ao domínio de (possa-se aplicar novamente).
-
- Vamos primeiro identificar o domínio de
. A única restrição vem do denominador , então:
Passo 3
Agora verificamos a segunda condição: quais
fazem
(esses
não podem estar na composição porque
tornaria o denominador do
externo zero). Resolva
Fazendo as contas:
Portanto
acontece em
. Concluímos que, para a composição, devemos excluir
(domínio original) e
(faz
). Anotando já:
Passo 4
Vamos calcular a composição simbolicamente. Por definição,
Substituímos
e calculamos separadamente numerador e denominador.
Passo 5
Calcule o numerador
:
Continuando a simplificação:
logo
Passo 6
Calcule o denominador
:
Simplificando o numerador:
portanto
Passo 7
Agora forme a razão:
Como
(já excluído do domínio), podemos cancelar o fator
no numerador e no denominador, obtendo
Opcionalmente podemos tirar o sinal negativo do numerador:
Passo 8
Resumo da expressão final e do domínio:
- Expressão simplificada:
. - Domínio: todos os
reais exceto aqueles que anulam um denominador em algum passo, ou seja