Dadas as funções
e
, determine:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções, e pede para calcular uma composição:
- Função
dada por . - Função
dada por .
A pergunta (a) é: determinar.
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita de
(peguei isso do enunciado). - Para
é preciso que para que a raiz quadrada seja real; portanto o domínio natural de é .
Passo 2
O que significa
?
- Por definição de composição,
é . - Em palavras: primeiro aplica-se
em (isso produz um valor), depois aplica-se novamente nesse valor. - Para que
esteja bem definida (como número real), precisamos que: -
esteja no domínio de (para poder calcular ), - e que
esteja no domínio de (para poder calcular ).
-
Passo 3
Calcular explicitamente
por substituição direta:
- Escrevemos a forma geral de
: para uma variável genérica . - Agora substituímos
. Como , temos
Portanto a expressão obtida é
.
Passo 4
Determinar o domínio de
(muito importante para a prova):
- Primeiro, para calcular
é necessário que , ou seja . - Segundo, para calcular
é necessário que o argumento da raiz externa seja , isto é - Mas
é sempre quando existe (isto é, quando ). Então para todo . Logo a condição externa não adiciona restrição extra. - Conclusão: basta
. Portanto o domínio de é .
Passo 5
Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplos simples que eu faria na prova para checar):
- Se
, então e . Isso bate com . - Se
, então e . Novamente confere com a fórmula.