Dadas as funções
f(x)=\sqrt{x+1} e g(x)=\frac{x-2}{x+3}, determine:
(a)
(f \circ f)(x)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções, e pede para calcular uma composição:
  • Função f dada por f(x)=\sqrt{x+1}.
  • Função g dada por g(x)=\dfrac{x-2}{x+3}.
    A pergunta (a) é: determinar (f\circ f)(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de f (peguei isso do enunciado).
  • Para f(x)=\sqrt{x+1} é preciso que x+1\ge 0 para que a raiz quadrada seja real; portanto o domínio natural de f é \{x\mid x\ge -1\}.

Passo 2

O que significa (f\circ f)(x)?
  • Por definição de composição, (f\circ f)(x) é f\big(f(x)\big).
  • Em palavras: primeiro aplica-se f em x (isso produz um valor), depois aplica-se f novamente nesse valor.
  • Para que f(f(x)) esteja bem definida (como número real), precisamos que:
    1. x esteja no domínio de f (para poder calcular f(x)),
    2. e que f(x) esteja no domínio de f (para poder calcular f(f(x))).

Passo 3

Calcular explicitamente f(f(x)) por substituição direta:
  • Escrevemos a forma geral de f: f(u)=\sqrt{u+1} para uma variável genérica u.
  • Agora substituímos u=f(x). Como f(x)=\sqrt{x+1}, temos
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\sqrt{\,f(x)+1\,}=\sqrt{\,\sqrt{x+1}+1\,}.
Portanto a expressão obtida é \sqrt{\sqrt{x+1}+1}.

Passo 4

Determinar o domínio de (f\circ f)(x) (muito importante para a prova):
  • Primeiro, para calcular f(x)=\sqrt{x+1} é necessário que x+1\ge 0, ou seja x\ge -1.
  • Segundo, para calcular f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x+1}+1} é necessário que o argumento da raiz externa seja \ge 0, isto é \sqrt{x+1}+1 \ge 0.
  • Mas \sqrt{x+1} é sempre \ge 0 quando existe (isto é, quando x\ge -1). Então \sqrt{x+1}+1\ge 1>0 para todo x\ge -1. Logo a condição externa não adiciona restrição extra.
  • Conclusão: basta x\ge -1. Portanto o domínio de (f\circ f)(x) é \{x\mid x\ge -1\}.

Passo 5

Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplos simples que eu faria na prova para checar):
  • Se x=0, então f(0)=\sqrt{0+1}=1 e (f\circ f)(0)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. Isso bate com \sqrt{\sqrt{0+1}+1}=\sqrt{1+1}.
  • Se x=3, então f(3)=\sqrt{4}=2 e (f\circ f)(3)=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}. Novamente confere com a fórmula.

Resposta

\displaystyle (f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}+1},\quad \text{domínio: }x\ge -1í

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