Enuncie o teorema sobre continuidade de funções compostas e explique sua aplicação no cálculo de limites.
Passo 1
O que você pediu: enunciar o teorema sobre continuidade de funções compostas e explicar como aplicá‑lo no cálculo de limites.
O que eu tenho para trabalhar: a definição de continuidade de uma função num ponto e a ideia de limite de função.
O que será entregue: (1) enunciado formal do teorema; (2) demonstração (passo a passo, com ideia epsilon–delta); (3) como usar o teorema para calcular limites, com exemplos práticos e armadilhas comuns; (4) dicas para a prova.
O que eu tenho para trabalhar: a definição de continuidade de uma função num ponto e a ideia de limite de função.
O que será entregue: (1) enunciado formal do teorema; (2) demonstração (passo a passo, com ideia epsilon–delta); (3) como usar o teorema para calcular limites, com exemplos práticos e armadilhas comuns; (4) dicas para a prova.
Passo 2
Definição básica (essencial antes do teorema). Vou dar a definição de continuidade em termos de limite e a versão epsilon–delta, explicando cada peça.
Definição por limite: uma função
é contínua em
se
Isto significa que, quando
se aproxima de
, os valores
se aproximam do valor
.
Definição epsilon–delta (mais formal):
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
O que cada símbolo significa:
-
é o quão perto queremos que fique de ; -
é o quão perto precisamos manter de para garantir isso; - a implicação diz que aproximar
de suficientemente garante aproximar de .
Intuição: continuidade quer dizer “sem saltos” no ponto.
Passo 3
Enunciado do teorema (forma padrão e clara).
Teorema. Sejam
e
funções e
um ponto do domínio de
tal que
é contínua em
e
é contínua em
. Então a função composta
(definida por
) é contínua em
.
Corolário útil para limites. Se
e
é contínua em
, então
Este corolário é a forma prática que usamos em provas para calcular limites de compostas: primeiro calcula‑se o limite interno
, depois basta avaliar
em
(quando
for contínua nesse ponto).
Passo 4
Demonstração epsilon–delta do teorema (passo a passo, sem pular etapas).
Queremos mostrar que para todo
existe
tal que, se
, então
.
- Comece com um
fixo (qualquer escolha positiva). - Como
é contínua em , pela definição epsilon–delta existe um número tal que
Aqui troquei a variável de entrada por
para distinguir da variável
.
- Agora use a continuidade de
em : existe tal que
- Combine as duas implicações: se
então , e por consequência .
Isto mostra exatamente a condição epsilon–delta para a continuidade de
em
. Portanto
é contínua em
. QED.
Comentário rápido: a ideia é “controlar” a variação de
de modo que essa variação seja pequena o suficiente para que
não se descontrole — por isso primeiro escolhemos
a partir de
e depois
a partir de
.
Passo 5
Demonstração por sequências (forma alternativa, mais intuitiva para muitos).
Se
então, pela continuidade de
em
, tem‑se
. Pela continuidade de
em
, tem‑se
. Pelo critério sequencial de continuidade, isso mostra que
é contínua em
. Essa versão é mais curta e útil quando se trabalha com sequências.
Passo 6
Como aplicar isso no cálculo de limites — receita prática (passo a passo que dá para usar na prova).
Regra prática (modo de operação):
- Identifique a função composta
e o ponto para o qual você quer . - Calcule
(isto é, o limite “interno”). Se esse limite existir, prossiga; se não existir, a estratégia da composição pode falhar. - Verifique se
é contínua em . Saber classes de funções contínuas ajuda muito: polinômios, funções racionais (onde denominador ≠ 0), e logaritmos (no domínio), raízes (em pontos onde o radicando é não negativo, etc.) são contínuas nos pontos usuais. - Se
for contínua em , então conclua
Esse procedimento é super prático e muito usado em prova: primeiro limite interno, depois “colar” o resultado no f.
Passo 7
Exemplos resolvidos rapidinho (prática vale ouro).
Exemplo A (bem direto)
Calcular .
Calcular
- Inner:
e . - Outer:
é contínua em . - Conclusão:
Exemplo B (raiz + cosseno)
Calcular .
Calcular
-
, . -
é contínua em (domínio adequado). -
Passo 8
Armadilhas e contraexemplos (o que pode dar errado).
-
Se o limite interno não existir, a regra não pode ser usada diretamente. Ex.: [g(x)=\sin(1/x)) quando
não tem limite — não dá para simplesmente escrever . Às vezes a composta ainda tem limite (caso seja constante), mas isso é um caso especial e precisa ser justificado separadamente. -
Se o limite interno existir e for
, mas for descontínua em , então geralmente pode não ser igual a e pode nem existir. Exemplo clássico: seja
Então
não existe (limite à esquerda é
, à direita é
). Assim a continuidade de
em
é uma hipótese indispensável no teorema.
- Mesmo quando
é descontínua, às vezes a composta tem limite (ex.: arbitrária, tem limite , e a imagem de nunca atinge pontos de descontinuidade próximos — caso particular), mas isso precisa ser analisado caso a caso.]
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (como agir sob pressão)
- Primeiro calcule
. Se for fácil e der um valor , avalie se é contínua em . - Lembre as classes de funções contínuas: polinômios, trigonométricas, exponenciais, logaritmos (no domínio), raízes (quando argumento ≥ 0), funções compostas dessas também. Isso acelera a verificação.
- Se o problema envolver uma função externa com possível descontinuidade, verifique limites laterais ou use manipulações algébricas (por exemplo, fatorar, racionalizar) antes de aplicar a composição.
- Se não conseguir o limite interno em forma fechada, considere teoremas auxiliares (teorema do confronto, substituições, séries, etc.).
Resposta
Teorema: Se
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.
Corolário para limites: Se
e
é contínua em
, então
.