Enuncie o teorema sobre continuidade de funções compostas e explique sua aplicação no cálculo de limites.

Passo 1

O que você pediu: enunciar o teorema sobre continuidade de funções compostas e explicar como aplicá‑lo no cálculo de limites.
O que eu tenho para trabalhar: a definição de continuidade de uma função num ponto e a ideia de limite de função.
O que será entregue: (1) enunciado formal do teorema; (2) demonstração (passo a passo, com ideia epsilon–delta); (3) como usar o teorema para calcular limites, com exemplos práticos e armadilhas comuns; (4) dicas para a prova.

Passo 2

Definição básica (essencial antes do teorema). Vou dar a definição de continuidade em termos de limite e a versão epsilon–delta, explicando cada peça.
Definição por limite: uma função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Isto significa que, quando x se aproxima de a, os valores f(x) se aproximam do valor f(a).
Definição epsilon–delta (mais formal): f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\text{se }|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-f(a)|<\varepsilon.ã
O que cada símbolo significa:
  • \varepsilon>0 é o quão perto queremos que f(x) fique de f(a);
  • \delta>0 é o quão perto precisamos manter x de a para garantir isso;
  • a implicação diz que aproximar x de a suficientemente garante aproximar f(x) de f(a).
Intuição: continuidade quer dizer “sem saltos” no ponto.

Passo 3

Enunciado do teorema (forma padrão e clara).
Teorema. Sejam g e f funções e a um ponto do domínio de g tal que g é contínua em a e f é contínua em g(a). Então a função composta f\circ g (definida por (f\circ g)(x)=f(g(x))) é contínua em a.
Corolário útil para limites. Se
\lim_{x\to a} g(x)=L
e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\!\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr) = f(L).
Este corolário é a forma prática que usamos em provas para calcular limites de compostas: primeiro calcula‑se o limite interno L, depois basta avaliar f em L (quando f for contínua nesse ponto).

Passo 4

Demonstração epsilon–delta do teorema (passo a passo, sem pular etapas).
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-a|<\delta, então |f(g(x))-f(g(a))|<\varepsilon.
  1. Comece com um \varepsilon>0 fixo (qualquer escolha positiva).
  2. Como f é contínua em g(a), pela definição epsilon–delta existe um número \eta>0 tal que
\text{se }|y-g(a)|<\eta\text{ então }|f(y)-f(g(a))|<\varepsilon.ã
Aqui troquei a variável de entrada por y para distinguir da variável x.
  1. Agora use a continuidade de g em a: existe \delta>0 tal que
\text{se }|x-a|<\delta\text{ então }|g(x)-g(a)|<\eta.ã
  1. Combine as duas implicações: se |x-a|<\delta então |g(x)-g(a)|<\eta, e por consequência |f(g(x))-f(g(a))|<\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição epsilon–delta para a continuidade de f\circ g em a. Portanto f\circ g é contínua em a. QED.
Comentário rápido: a ideia é “controlar” a variação de g(x) de modo que essa variação seja pequena o suficiente para que f não se descontrole — por isso primeiro escolhemos \eta a partir de f e depois \delta a partir de g.

Passo 5

Demonstração por sequências (forma alternativa, mais intuitiva para muitos).
Se x_n\to a então, pela continuidade de g em a, tem‑se g(x_n)\to g(a). Pela continuidade de f em g(a), tem‑se f(g(x_n))\to f(g(a)). Pelo critério sequencial de continuidade, isso mostra que f\circ g é contínua em a. Essa versão é mais curta e útil quando se trabalha com sequências.

Passo 6

Como aplicar isso no cálculo de limites — receita prática (passo a passo que dá para usar na prova).
Regra prática (modo de operação):
  1. Identifique a função composta \,f(g(x)) e o ponto a para o qual você quer \lim_{x\to a} f(g(x)).
  2. Calcule \\ L=\lim_{x\to a} g(x) (isto é, o limite “interno”). Se esse limite existir, prossiga; se não existir, a estratégia da composição pode falhar.
  3. Verifique se f é contínua em L. Saber classes de funções contínuas ajuda muito: polinômios, funções racionais (onde denominador ≠ 0), \sin,\cos,\exp e logaritmos (no domínio), raízes (em pontos onde o radicando é não negativo, etc.) são contínuas nos pontos usuais.
  4. Se f for contínua em L, então conclua
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).
Esse procedimento é super prático e muito usado em prova: primeiro limite interno, depois “colar” o resultado no f.

Passo 7

Exemplos resolvidos rapidinho (prática vale ouro).
Exemplo A (bem direto)
Calcular \lim_{x\to 2} \sin(x^2).
  1. Inner: g(x)=x^2 e \lim_{x\to 2} g(x)=4.
  2. Outer: f(y)=\sin y é contínua em y=4.
  3. Conclusão:
\lim_{x\to 2} \sin(x^2) = \sin(4).
Exemplo B (raiz + cosseno)
Calcular \lim_{x\to 0} \sqrt{1+\cos x}.
  1. g(x)=\cos x, \lim_{x\to 0} g(x)=1.
  2. h(y)=\sqrt{1+y} é contínua em y=1 (domínio adequado).
  3. \lim_{x\to 0} \sqrt{1+\cos x} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 8

Armadilhas e contraexemplos (o que pode dar errado).
  1. Se o limite interno não existir, a regra não pode ser usada diretamente. Ex.: [g(x)=\sin(1/x)) quando x\to 0 não tem limite — não dá para simplesmente escrever f(\lim g(x)). Às vezes a composta ainda tem limite (caso f seja constante), mas isso é um caso especial e precisa ser justificado separadamente.
  2. Se o limite interno existir e for L, mas f for descontínua em L, então geralmente \lim_{x\to a} f(g(x)) pode não ser igual a f(L) e pode nem existir. Exemplo clássico: seja
f(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 1, & y\ge 0, \end{cases} \qquad g(x)=x.
Então \lim_{x\to 0} g(x)=0\] mas \(\lim_{x\to 0} f(g(x))=\lim_{x\to 0} f(x) não existe (limite à esquerda é 0, à direita é 1). Assim a continuidade de f em L é uma hipótese indispensável no teorema.
  1. Mesmo quando f é descontínua, às vezes a composta tem limite (ex.: f arbitrária, g tem limite L, e a imagem de g(x) nunca atinge pontos de descontinuidade próximos — caso particular), mas isso precisa ser analisado caso a caso.]

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (como agir sob pressão)
  • Primeiro calcule \lim_{x\to a} g(x). Se for fácil e der um valor L, avalie se f é contínua em L.
  • Lembre as classes de funções contínuas: polinômios, trigonométricas, exponenciais, logaritmos (no domínio), raízes (quando argumento ≥ 0), funções compostas dessas também. Isso acelera a verificação.
  • Se o problema envolver uma função externa com possível descontinuidade, verifique limites laterais ou use manipulações algébricas (por exemplo, fatorar, racionalizar) antes de aplicar a composição.
  • Se não conseguir o limite interno em forma fechada, considere teoremas auxiliares (teorema do confronto, substituições, séries, etc.).

Resposta

Teorema: Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a.
Corolário para limites: Se \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então \displaystyle\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).

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