Dadas as funções
f(x)=\sqrt{x+1} e g(x)=\frac{x-2}{x+3}, determine:
(c)
(g \circ f)(x)

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a composição (g\circ f)(x). As informações fornecidas são:
  • f(x)=\sqrt{x+1}.
  • g(x)=\dfrac{x-2}{x+3}.
    A pergunta (c) é: calcular (g\circ f)(x), isto é, escrever a expressão de g(f(x)).

Passo 2

O que significa (g\circ f)(x)?
  • A composição (g\circ f)(x) é definida como g(f(x)): primeiro aplica-se f ao valor x, obtém-se f(x), e depois aplica-se g ao resultado f(x).
  • Em termos práticos, para calcular g(f(x)) substitui-se a variável x que aparece em g(x) pela expressão f(x).

Passo 3

Vamos substituir f(x) em g(x). A função g é
g(x)=\frac{x-2}{x+3}.
Substituindo x por f(x)=\sqrt{x+1} obtemos
g(f(x))=\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+3}.

Passo 4

Verificação e domínio: quando fazemos composições devemos checar o domínio (valores de x para os quais a expressão faz sentido).
  • Para f(x)=\sqrt{x+1} é necessário que o radicando seja não negativo, isto é,
x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1.
  • Em g(f(x))=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+3} há um denominador \sqrt{x+1}+3. Verificamos se pode ser zero:
\sqrt{x+1}+3=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x+1}=-3,
mas \sqrt{x+1}\ge 0 para todos x\ge -1, então \sqrt{x+1}=-3 não ocorre. Logo o denominador nunca é zero para x\ge -1.
  • Conclusão: o domínio da composição é exatamente o domínio de f, isto é x\ge -1.

Passo 5

Resumo didático rápido (para a prova): ao compor g com f faça sempre:
  1. Escreva g(x).
  2. Substitua x por f(x) em toda a expressão de g.
  3. Simplifique se possível.
  4. Cheque o domínio: domínio de f e evitar zeros no denominador resultante.
    No caso deste exercício o passo 2 produziu uma expressão simples com radical e o passo 4 mostrou domínio x\ge -1.

Resposta

\displaystyle (g\circ f)(x)=\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+3}
Domínio: \displaystyle [-1,\infty)

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