Dadas as funções
e
, determine os pontos para os quais a função
é contínua.
Passo 1
Temos as funções f(x,y)=x²−y² e g(t)=(t²−4)/t, e queremos estudar a continuidade de h(x,y)=g(f(x,y)). O conteúdo envolve continuidade de funções polinomiais e racionais e a composição de funções.
Passo 2
A função f(x,y)=x²−y² é um polinômio em (x,y), portanto contínua em todo R².
A função g(t)=(t²−4)/t é uma função racional. Ela é contínua em todos os t onde o denominador não se anula, ou seja, para t≠0.
A função g(t)=(t²−4)/t é uma função racional. Ela é contínua em todos os t onde o denominador não se anula, ou seja, para t≠0.
Passo 3
Pela propriedade de composição, h(x,y)=g(f(x,y)) será contínua exatamente onde f(x,y) pertence ao domínio de g, isto é, onde f(x,y)≠0. Logo, precisamos de x²−y²≠0.
Passo 4
A condição x²−y²≠0 equivale a excluir os pontos que satisfazem x²=y², ou seja, as retas y=±x. Em todos os outros pontos h é contínua.
Resposta
h(x,y) é contínua em todos os pontos (x,y)∈R² tais que x²−y²≠0.