Dadas as funções f(x, y)=x^2-y^2 e g(t)=(t^2-4) / t, determine os pontos para os quais a função h(x, y)=g(f(x, y)) é contínua.

Passo 1

Temos as funções f(x,y)=x²−y² e g(t)=(t²−4)/t, e queremos estudar a continuidade de h(x,y)=g(f(x,y)). O conteúdo envolve continuidade de funções polinomiais e racionais e a composição de funções.

Passo 2

A função f(x,y)=x²−y² é um polinômio em (x,y), portanto contínua em todo R².
A função g(t)=(t²−4)/t é uma função racional. Ela é contínua em todos os t onde o denominador não se anula, ou seja, para t≠0.

Passo 3

Pela propriedade de composição, h(x,y)=g(f(x,y)) será contínua exatamente onde f(x,y) pertence ao domínio de g, isto é, onde f(x,y)≠0. Logo, precisamos de x²−y²≠0.

Passo 4

A condição x²−y²≠0 equivale a excluir os pontos que satisfazem x²=y², ou seja, as retas y=±x. Em todos os outros pontos h é contínua.

Resposta

h(x,y) é contínua em todos os pontos (x,y)∈R² tais que x²−y²≠0.

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