Dadas as funções faça o que se pede:
i) Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
ii) Determine a imagem das função
iii) Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico
a)
R.: Dom
b)
R.: Dom
c)
R.: Dom
d)
R.: Dom
e)
R.: Dom
f)
R.: Dom
g)
R.: e
h)
R.: Dom
i)
R.: Dom
j)
R.: Dom ou
k)
R.: Dom
l)
R.: Dom
m) e
n)
R.: Dom
o)
R.: Dom
p)
R.: Dom
q)
R.: Dom
r)
R.: Dom
s)
R.: Dom
t)
R.: Dom (g)=(x, y) in R^2
u) h(x, y)= 6-x^2-y^2, & x^2+y^2 <= 4 4-raizx^2-y^2, & x^2+y^2 >= 4
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2
v) f(x, y)=rc7-raizx^2+y^2, & 0 <= x^2+y^2 <= 16 raiz25-x^2-y^2, & 16 <= x^2+y^2 <= 25
R.: Dom(f)=(x, y) in R^2 / 0 <= x^2+y^2 <= 25
Passo 1
O enunciado pede, para cada função definida em R^n: 1. Determinar o domínio; 2. Determinar a imagem (conjunto-valor); 3. Descrever as curvas (ou superfícies) de nível, isto é, o conjunto de pontos onde a função toma um valor constante c, e — no caso n=2 — esboçar qualitativamente essas curvas.
Passo 2
Em geral:
Para o domínio, exigimos que expressões sob radicais sejam >=0, denominadores neq0, argumentos de ln sejam >0 etc.
Para a imagem, analisamos o comportamento da função em todo o domínio (ex.: valores extremos de radicais, limites em fronteiras, sinais de exponenciais e logaritmos).
Para as curvas de nível f=!c, resolvemos a equação f(x,y,dots)=c para obter a família de conjuntos (linhas, círculos, elipsoides etc.).
Passo 3
Aplicando isso a cada item:
a) [f(x,y)=y-x)
Domínio: .
Imagem: (para cada há ).
Níveis: , reta de inclinação , deslocada conforme .
b)
Domínio: (interior de elipsoide).
Imagem: .
Níveis: , elipsoides concêntricos.
c)
Domínio: .
Imagem: (máx. em , tende a no infinito).
Níveis: , círculos de raio .
d)
Domínio: , disco de raio centrado em .
Imagem: (máx. em , zero na fronteira).
Níveis: , círculos concêntricos no disco.
e)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , esferas concêntricas.
f)
Domínio: .
Imagem: (ver sinais positivos e negativos).
Níveis: , cilindros hiperbólicos (boltzes).
g)
Domínio: e .
Imagem: depende de e ; analisando extremos, atinge todo (pois denominador muda sinal e numerador cresce).
Níveis: , curvas de grau .
h)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , círculos de raio .
i)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , retas que passam pela origem.
j)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , hipérboles de eixos ao longo de .
k)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , círculos de raio .
l)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , duas retas paralelas à bissetriz.
m) , com restrições
Domínio: triângulo no .º quadrante.
Imagem: (máx. em , zero em ).
Níveis: , intersecção com triângulo: retas verticais.
n)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , círculos concêntricos.
o)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , elipses centradas na origem.
p)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , círculos.
q)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , parábolas voltadas para .
r)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , círculos de raio .
s)
Domínio: .
Imagem: .
Níveis: , cilindros hiperbólicos ao longo de curvas exponenciais.
t)
Domínio: .
- Níveis:
- Para , curva dentro do disco de raio ;
- Para , união da circunferência e da região exterior.
u)
Domínio: .
- Níveis:
- Para , se surge de (círculo);
- Para , também de (hipérboles).
v)
Domínio: (máx. em , mínimo em fronteiras).
- Níveis:
- Para , círculos de raio ;
- Para , círculos de raio .
Resposta
Para cada função acima indicamos domínio, imagem e curvas (ou superfícies) de nível conforme listado em “Passo 3”.