Dadas as funções faça o que se pede:
i) Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
ii) Determine a imagem das função
iii) Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
R^2 esboce o gráfico
a) f(x, y)=y-x
R.: Dom (f)=(x, y) in R^2
b) g(x, y, z)=ln (16-4 x^2-4 y^2-z^2)
R.: Dom (g)=(x, y, z) in R^3 / x^22^2+y^22^2+z^24^2<1
c) g(x, y)=e^-(x^2+y^2)
R.: Dom (g)=(x, y) in R^2
d) h(x, y)=raiz2 y-x^2-y^2
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2 / x^21^2+(y-1)^2 21^2 <= 1
e) f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2
R.: Dom (f)=(x, y, z) in R^3 /(x, y, z) neq(0,0,0)
f) h(x, y, z)=x^2+y^2-(z-1)^2
R.: Dom (h)=(x, y, z) in R^3
g) g(x, y)=raizy-x^21-x^2
R.: Dom(g)=(x, y) in R^2 / y >= x^2 e x neq pm 1
h) h(x, y)=raizx^2+y^2
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 >= 0
i) f(x, y)=yx
R.: Dom (f)=(x, y) in R^2 / x neq 0
j) h(x, y)=raizx^2-y^2
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2 / x >= y ou x <=-y
k) g(x, y)=ln (x^2+y^2)
R.: Dom (g)=(x, y) in R^2 / x^2+y^2>0
l) f(x, y)=(x-y)^2
R.: Dom (f)=(x, y) in R^2
m) f(x, y)=1-x^2, x >= 0, y >= 0 e x+y <= 1
n) g(x, y)=1-x^2-y^2
R.: Dom (g)=(x, y) in R^2
o) h(x, y)=4 x^2+y^2
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2
p) g(x, y)=1x^2+y^2
R.: Dom (g f)=(x, y) in R^2 /(x, y) neq(0,0)
q) f(x, y)=raiz10-x-y^2
R.: Dom (f)=(x, y) in R^2 / x <= 10+y^2
r) z=2+raizx^2+y^2
R.: Dom (z)=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 >= 0
s) f(x, y, z)=x^2+z^2-e^2 y
R.: Dom (f)=(x, y) in R^2
t) g(x, y)= 8-x^2-y^2, & x^2+y^2 <= 4 4, & x^2+y^2 >= 4
R.: Dom (g)=(x, y) in R^2
u) h(x, y)= 6-x^2-y^2, & x^2+y^2 <= 4 4-raizx^2-y^2, & x^2+y^2 >= 4
R.: Dom (h)=(x, y) in R^2
v) f(x, y)=rc7-raizx^2+y^2, & 0 <= x^2+y^2 <= 16 raiz25-x^2-y^2, & 16 <= x^2+y^2 <= 25
R.: Dom(f)=(x, y) in R^2 / 0 <= x^2+y^2 <= 25

Passo 1

O enunciado pede, para cada função definida em R^n:
1. Determinar o domínio;
2. Determinar a imagem (conjunto-valor);
3. Descrever as curvas (ou superfícies) de nível, isto é, o conjunto de pontos onde a função toma um valor constante c, e — no caso n=2 — esboçar qualitativamente essas curvas.

Passo 2

Em geral:
  • Para o domínio, exigimos que expressões sob radicais sejam >=0, denominadores neq0, argumentos de ln sejam >0 etc.
  • Para a imagem, analisamos o comportamento da função em todo o domínio (ex.: valores extremos de radicais, limites em fronteiras, sinais de exponenciais e logaritmos).
  • Para as curvas de nível f=!c, resolvemos a equação f(x,y,dots)=c para obter a família de conjuntos (linhas, círculos, elipsoides etc.).

Passo 3

Aplicando isso a cada item:
a) [f(x,y)=y-x)
  • Domínio: .
  • Imagem: (para cada ).
  • Níveis: , reta de inclinação , deslocada conforme .
b)
  • Domínio: (interior de elipsoide).
  • Imagem: .
  • Níveis: , elipsoides concêntricos.
c)
  • Domínio: .
  • Imagem: (máx. em , tende a no infinito).
  • Níveis: , círculos de raio .
d)
  • Domínio: , disco de raio centrado em .
  • Imagem: (máx. em , zero na fronteira).
  • Níveis: , círculos concêntricos no disco.
e)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , esferas concêntricas.
f)
  • Domínio: .
  • Imagem: (ver sinais positivos e negativos).
  • Níveis: , cilindros hiperbólicos (boltzes).
g)
  • Domínio: e .
  • Imagem: depende de e ; analisando extremos, atinge todo (pois denominador muda sinal e numerador cresce).
  • Níveis: , curvas de grau .
h)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , círculos de raio .
i)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , retas que passam pela origem.
j)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , hipérboles de eixos ao longo de .
k)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , círculos de raio .
l)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , duas retas paralelas à bissetriz.
m) , com restrições
  • Domínio: triângulo no .º quadrante.
  • Imagem: (máx. em , zero em ).
  • Níveis: , intersecção com triângulo: retas verticais.
n)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , círculos concêntricos.
o)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , elipses centradas na origem.
p)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , círculos.
q)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , parábolas voltadas para .
r)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , círculos de raio .
s)
  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Níveis: , cilindros hiperbólicos ao longo de curvas exponenciais.
t)
  • Domínio: .
    - Níveis:
    - Para , curva dentro do disco de raio ;
    - Para , união da circunferência e da região exterior.
u)
  • Domínio: .
    - Níveis:
    - Para , se surge de (círculo);
    - Para , também de (hipérboles).
v)
  • Domínio: (máx. em , mínimo em fronteiras).
    - Níveis:
    - Para , círculos de raio ;
    - Para , círculos de raio .

Resposta

Para cada função acima indicamos domínio, imagem e curvas (ou superfícies) de nível conforme listado em “Passo 3”.

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