Dadas as funções reais
e
, determine as compostas
e
e seus respectivos domínios:
e
Passo 1
A questão dá as funções reais f(x)=x+2 e g(x)=4x^2−1 e pede para encontrar as composições f∘g e g∘f, além de seus domínios. O conteúdo envolve composição de funções, uma operação que consiste em aplicar uma função dentro da outra.
Passo 2
Lembrando da definição de composição: para duas funções f e g, temos
Passo 3
Aplicando f sobre g, substituímos g(x) em f:
Passo 4
Como g é um polinômio definido para todo x∈ℝ e f também é definido em todo ℝ, a imagem de g está contida no domínio de f. Logo,
Dom(f∘g)=ℝ.
Dom(f∘g)=ℝ.
Passo 5
Agora aplicamos g sobre f, substituindo f(x) em g:
Passo 6
Novamente, f é polinomial com domínio ℝ e g é definido para todo ℝ, então a composição g∘f também tem domínio ℝ.
Dom(g∘f)=ℝ.
Dom(g∘f)=ℝ.
Resposta
(f\circ g)(x)=4x^2+1, Dom(f\circ g)=ℝ; (g\circ f)(x)=4x^2+16x+15, Dom(g\circ f)=ℝ.