Seja a função
f(x)=raiz[3]x(x-2)|x-2|
Determine os limites lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x);

Passo 1

A gente quer estudar os limites laterais da função abaixo, que envolve raiz cúbica e valor absoluto. Conteúdo: limites unilaterais, sinal de expressão dentro de |·| e continuidade de raiz[3]x.
f(x)=raiz[3]x(x-2)|x-2|

Passo 2

Para xto2^-, temos x<2 e, portanto, x-2<0. Isso implica
|x-2|=-(x-2)
Substituindo em f(x):
f(x)=raiz[3]x(x-2)-(x-2)=-raiz[3]x
Como raiz[3]x é contínua, o limite é
limxto2^-f(x)=-raiz[3]2

Passo 3

Para xto2^+, temos x>2 e, assim, x-2>0. Logo
|x-2|=x-2
Então
f(x)=raiz[3]x(x-2)x-2=raiz[3]x
E pela continuidade de raiz[3]x, resulta
limxto2^+f(x)=raiz[3]2

Resposta

limxto2^-f(x)=-raiz[3]2 e limxto2^+f(x)=raiz[3]2.

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