Dadas as funções reais f e g, determine as compostas f circ g e g circ f e seus respectivos domínios:
f(x)=x^2-2 e g(x)=raizx

Passo 1

Temos as funções reais f(x)=x²−2 e g(x)=√x. O objetivo é achar as funções compostas f∘g e g∘f e seus domínios, usando definição de composição e restrições de domínio (especialmente para raiz quadrada).

Passo 2

Para calcular f∘g, substituímos g(x) em f:
f(g(x))=f(raizx)=(raizx)^2-2=x-2
O domínio de f∘g exige que x esteja em dom(g) e que g(x) esteja em dom(f). Como dom(g) é [0,∞) e dom(f)=ℝ, temos dom(f∘g)=[0,∞).

Passo 3

Para calcular g∘f, substituímos f(x) em g:
g(f(x))=g(x^2-2)=raizx^2-2

Passo 4

O domínio de g∘f exige que o interior da raiz seja não negativo: x²−2≥0, ou seja x≤−√2 ou x≥√2. Como f é definida em todo ℝ, temos dom(g∘f)=(-∞,−√2]∪[√2,∞).

Resposta

fcirc g(x)=x-2,;dom(fcirc g)=[0,infty);
gcirc f(x)=raizx^2-2,;dom(gcirc f)=(-infty,-raiz2]cup[raiz2,infty).

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