Seja a função
f(x)=raiz[3]x(x-2)|x-2|
Podemos dizer que lim x 2 f(x) existe? Justifique!

Passo 1

Temos a função
f(x)=raiz[3]x,(x-2)|x-2|
O conteúdo aqui é limite de função, em particular precisamos analisar limites laterais e a expressão envolvendo |x-2|.

Passo 2

Observamos que a parte
g(x)=x-2|x-2|
é justamente a função sinal de x-2: para x>2 temos |x-2|=x-2 e então g(x)=1; para x<2 temos |x-2|=-(x-2) e então g(x)=-1.

Passo 3

Para o limite pela direita ( xto2^+) substituímos: g(x)=1 e raiz[3]xtoraiz[3]2. Logo
limxto2^+f(x)=raiz[3]2cdot1=raiz[3]2

Passo 4

Para o limite pela esquerda ( xto2^-) substituímos: g(x)=-1 e raiz[3]xtoraiz[3]2. Logo
limxto2^-f(x)=raiz[3]2cdot(-1)=-raiz[3]2

Passo 5

Como
limxto2^+f(x)=raiz[3]2neq -raiz[3]2=limxto2^-f(x),
o limite bilateral limxto2f(x) não existe.

Passo 6

Portanto, concluímos que o limite de f(x) quando x tende a 2 não existe, pois os limites laterais são diferentes.

Resposta

O limite limxto2f(x) não existe porque
limxto2^+f(x)=raiz[3]2 e
limxto2^-f(x)=-raiz[3]2,
que são diferentes.

Exercícios relacionados