Dadas as funções reais de variável real 
  e 
 , onde 
  é uma constante real com 
 , julgue os itens a seguir usando V para verdadeiro e F para falso. 
  Existe 
  tal que 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções: 
  e 
 , onde 
  é uma constante real que está entre 0 e 1 (
 ). A questão pede para verificar se existe algum número real 
  que, quando aplicamos uma função dentro da outra (
 ), o resultado é igual a aplicar apenas a função 
  em 
 . Ou seja, queremos saber se existe 
  tal que 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 
 . A notação 
  representa a composição das funções 
  e 
 , ou seja, aplicar 
  primeiro e depois 
  no resultado. Matematicamente, isso fica assim:
Vamos calcular 
 :
Agora, aplicamos 
  nesse resultado:
Passo 3
Agora, temos que comparar 
  com 
 . Vamos escrever 
 :
Queremos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para ver se existe algum 
  que a satisfaça:
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Passo 5
Agora, analisamos a equação 
 . Sabemos que 
  é uma constante real entre 0 e 1 (
 ). Então, 
  também será um número positivo, já que qualquer número real positivo ao quadrado continua positivo. Isso significa que:
Portanto, a equação 
  não tem solução dentro do intervalo dado para 
 .
Resposta
F