Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de f e de f^{-1}.
f(x)=\sqrt{9-x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a função inversa de f e determinar os domínios de f e de f^{-1}.
A função dada é f(x)=\sqrt{9-x}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: o símbolo \sqrt{\;\;} representa a raiz quadrada principal, isto é, sempre retorna um número não negativo.

Passo 2

Entender o que significa “domínio” aqui. Domínio é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define f(x) está bem definida. No caso de uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Para a nossa função o radicando é 9-x. Então impomos a condição
9-x \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade: subtraindo 9 dos dois lados obtemos -x \ge -9. Multiplicando por -1 (e lembrando que a desigualdade inverte), chega-se a
x \le 9.
Portanto todos os x menores ou iguais a 9 são permitidos.

Passo 3

Concluímos, então, que o domínio de f é o intervalo
(-\infty,\,9].
Vou explicar por que: qualquer x menor que 9 torna 9-x positivo, a raiz existe; para x=9 o radicando é zero e a raiz é 0; para x>9 o radicando seria negativo e a raiz não seria real.

Passo 4

Agora vamos achar a imagem (ou “contradomínio efetivo”, também chamada de “range”) de f, pois isso será o domínio da inversa. Para x no domínio, f(x)=\sqrt{9-x} produz valores sempre não negativos por definição da raiz principal, então f(x)\ge 0. Qual o menor valor possível? Quando x=9, f(9)=\sqrt{0}=0. Qual o maior valor possível? Se fazemos x muito negativo, 9-x cresce sem limite positivo e a raiz também cresce sem limite. Logo os valores assumidos por f são todos os números reais maiores ou iguais a zero. Portanto o conjunto imagem de f é
[0,\,\infty).

Passo 5

Antes de calcular a inversa, é bom checar se f é injetora (uma-para-uma) no domínio indicado, pois só assim existe inversa. Uma forma simples de ver isso: para x_1<x_2 temos 9-x_1>9-x_2 e aplicando a raiz (função crescente) obtemos \sqrt{9-x_1}>\sqrt{9-x_2}. Ou seja, f(x_1)>f(x_2) sempre que x_1<x_2: f é estritamente decrescente, logo injetora. Assim existe inversa definida sobre a imagem [0,\infty).

Passo 6

Agora calculamos a inversa de forma algébrica. Começamos trocando f(x) por y:
y=\sqrt{9-x},
com a observação necessária de que y\ge 0 (pois \sqrt{\;\;} é não negativa). Para isolar x, elevamos ambos os lados ao quadrado:
y^2=9-x.
Agora resolvemos para x:
x=9-y^2.
Isto nos dá a expressão da inversa em termos de y: f^{-1}(y)=9-y^2, válida para os y que pertencem ao conjunto imagem de f, isto é, para y\ge 0.

Passo 7

Para colocar a inversa na forma habitual f^{-1}(x) (substituindo a variável independente y por x), escrevemos
f^{-1}(x)=9-x^2,
com domínio
[0,\,\infty).
Explicando por que não precisamos do sinal “±” ao elevar ao quadrado: ao resolver y=\sqrt{9-x} já sabíamos que y\ge 0; ao passar para y^2 não introduzimos a raiz negativa porque y é exatamente a raiz não negativa dada pela definição da função original.

Passo 8

Relacionando domínios e imagens: o domínio de f^{-1} é a imagem de f, que encontramos como [0,\infty). A imagem (ou conjunto de valores) de f^{-1} é o domínio de f, ou seja (-\infty,9]. Podemos fazer uma verificação rápida de composição para ter certeza:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\sqrt{9-(9-x^2)}=\sqrt{x^2}=|x|.
Como a composição está sendo feita para x no domínio de f^{-1}, temos x\ge 0 e, portanto, |x|=x. Logo f(f^{-1}(x))=x para todo x\in[0,\infty). Do outro lado,
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=9-\bigl(\sqrt{9-x}\bigr)^2=9-(9-x)=x
para todo x\in(-\infty,9]. Isso confirma que as expressões estão corretas.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: f^{-1}(2)=9-2^2=5. Conferindo: f(5)=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2. Tudo consistente — tá funcionando!

Resposta

f^{-1}(x)=9-x^{2}
Domínio de f: (-\infty,\,9]
Domínio de f^{-1}: [0,\,\infty)

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