Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de
e de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a função inversa de
e determinar os domínios de
e de
.
A função dada é .
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: o símbolo representa a raiz quadrada principal, isto é, sempre retorna um número não negativo.
A função dada é
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: o símbolo
Passo 2
Entender o que significa “domínio” aqui. Domínio é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define
está bem definida. No caso de uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Para a nossa função o radicando é
. Então impomos a condição
Resolvendo essa desigualdade: subtraindo
dos dois lados obtemos
. Multiplicando por
(e lembrando que a desigualdade inverte), chega-se a
Portanto todos os
menores ou iguais a
são permitidos.
Passo 3
Concluímos, então, que o domínio de
é o intervalo
Vou explicar por que: qualquer
menor que
torna
positivo, a raiz existe; para
o radicando é zero e a raiz é
; para
o radicando seria negativo e a raiz não seria real.
Passo 4
Agora vamos achar a imagem (ou “contradomínio efetivo”, também chamada de “range”) de
, pois isso será o domínio da inversa. Para
no domínio,
produz valores sempre não negativos por definição da raiz principal, então
. Qual o menor valor possível? Quando
,
. Qual o maior valor possível? Se fazemos
muito negativo,
cresce sem limite positivo e a raiz também cresce sem limite. Logo os valores assumidos por
são todos os números reais maiores ou iguais a zero. Portanto o conjunto imagem de
é
Passo 5
Antes de calcular a inversa, é bom checar se
é injetora (uma-para-uma) no domínio indicado, pois só assim existe inversa. Uma forma simples de ver isso: para
temos
e aplicando a raiz (função crescente) obtemos
. Ou seja,
sempre que
:
é estritamente decrescente, logo injetora. Assim existe inversa definida sobre a imagem
.
Passo 6
Agora calculamos a inversa de forma algébrica. Começamos trocando
por
:
com a observação necessária de que
(pois
é não negativa). Para isolar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Agora resolvemos para
:
Isto nos dá a expressão da inversa em termos de
:
, válida para os
que pertencem ao conjunto imagem de
, isto é, para
.
Passo 7
Para colocar a inversa na forma habitual
(substituindo a variável independente
por
), escrevemos
com domínio
Explicando por que não precisamos do sinal “±” ao elevar ao quadrado: ao resolver
já sabíamos que
; ao passar para
não introduzimos a raiz negativa porque
é exatamente a raiz não negativa dada pela definição da função original.
Passo 8
Relacionando domínios e imagens: o domínio de
é a imagem de
, que encontramos como
. A imagem (ou conjunto de valores) de
é o domínio de
, ou seja
. Podemos fazer uma verificação rápida de composição para ter certeza:
Como a composição está sendo feita para
no domínio de
, temos
e, portanto,
. Logo
para todo
. Do outro lado,
para todo
. Isso confirma que as expressões estão corretas.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança:
. Conferindo:
. Tudo consistente — tá funcionando!
Resposta
Domínio de
Domínio de