Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de f e de f^{-1}.
f(x)=\sqrt[3]{x+4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{x+4}
e pede duas coisas: (1) encontrar a função inversa f^{-1} e (2) determinar os domínios de f e de f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
f(x)=\sqrt[3]{x+4}.
Não há outras restrições explícitas.

Passo 2

O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática):
  • Por definição, f^{-1} é a função que “desfaz” f: se f(a)=b então f^{-1}(b)=a.
  • Um procedimento prático para achar f^{-1}:
    1. Escreve-se y=f(x).
    2. Resolve-se essa equação para x em função de y.
    3. Troca-se o papel de x e y (isto transforma a expressão numa função com variável x) — o resultado é f^{-1}(x).
  • Relação importante entre domínio e imagem: o domínio de f é a imagem (conjunto de valores possíveis) de f^{-1} e o domínio de f^{-1} é a imagem de f.

Passo 3

Aplicando o método: escrevemos primeiro y=f(x):
y=\sqrt[3]{x+4}.
Agora vamos isolar x. Como temos uma raiz cúbica, elevamos ambos os lados ao cubo (a raiz cúbica é a operação inversa da potência de grau 3):
y^3 = x+4.
Isolando x:
x = y^3 - 4.

Passo 4

Troca de variáveis para obter a inversa: agora trocamos x e y (padrão para escrever a função inversa). Substituindo, obtemos
y = x^3 - 4.
Portanto a função inversa é
f^{-1}(x)=x^3-4.

Passo 5

Determinação do domínio de f (explicação e exemplos):
  • A função f(x)=\sqrt[3]{x+4} envolve uma raiz de índice ímpar (índice 3). Raízes de índice ímpar aceitam qualquer número real dentro: é possível calcular \sqrt[3]{\text{número negativo}}ú (ex.: \sqrt[3]{-8}=-2).
  • Logo não há restrição sobre o valor de x; podemos somar 4 a qualquer real e tirar a raiz cúbica.
  • Assim o domínio de f é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Determinação do domínio de f^{-1} (explicação):
  • A inversa f^{-1}(x)=x^3-4 é um polinômio do 3.º grau. Polinômios estão definidos para todos os números reais.
  • Portanto o domínio de f^{-1} é
\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida por composição (confirma que a inversa está correta):
  • Calcular f(f^{-1}(x)):
f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{(x^3-4)+4}=\sqrt[3]{x^3}=x\quad\text{(para todo }x\in\mathbb{R}\text{)}.
  • Calcular f^{-1}(f(x)):
f^{-1}(f(x))=\bigl(\sqrt[3]{x+4}\bigr)^3-4=(x+4)-4=x\quad\text{(para todo }x\in\mathbb{R}\text{)}.
As duas composições retornam x, confirmando que a função encontrada é mesmo a inversa.

Resposta

f^{-1}(x)=x^3-4
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}

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