Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de
e de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) encontrar a função inversa
e (2) determinar os domínios de
e de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há outras restrições explícitas.
Passo 2
O que é uma função inversa e como achá-la (explicação didática):
- Por definição,
é a função que “desfaz” : se então . - Um procedimento prático para achar
: - Escreve-se
. - Resolve-se essa equação para
em função de . - Troca-se o papel de
e (isto transforma a expressão numa função com variável ) — o resultado é .
- Escreve-se
- Relação importante entre domínio e imagem: o domínio de
é a imagem (conjunto de valores possíveis) de e o domínio de é a imagem de .
Passo 3
Aplicando o método: escrevemos primeiro
:
Agora vamos isolar
. Como temos uma raiz cúbica, elevamos ambos os lados ao cubo (a raiz cúbica é a operação inversa da potência de grau 3):
Isolando
:
Passo 4
Troca de variáveis para obter a inversa: agora trocamos
e
(padrão para escrever a função inversa). Substituindo, obtemos
Portanto a função inversa é
Passo 5
Determinação do domínio de
(explicação e exemplos):
- A função
envolve uma raiz de índice ímpar (índice 3). Raízes de índice ímpar aceitam qualquer número real dentro: é possível calcular (ex.: ). - Logo não há restrição sobre o valor de
; podemos somar a qualquer real e tirar a raiz cúbica. - Assim o domínio de
é
Passo 6
Determinação do domínio de
(explicação):
- A inversa
é um polinômio do 3.º grau. Polinômios estão definidos para todos os números reais. - Portanto o domínio de
é
Passo 7
Verificação rápida por composição (confirma que a inversa está correta):
- Calcular
:
- Calcular
:
As duas composições retornam
, confirmando que a função encontrada é mesmo a inversa.