Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de
e de
.
)
)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar a função inversa
e (2) indicar os domínios de
e de
. Informações relevantes que já temos do enunciado: o domínio de
é o conjunto de todos os
estritamente positivos, ou seja,
. Não há mais informações externas; vamos usar apenas isso.
Passo 2
O que é uma função inversa, de forma prática? Se
é invertível, a inversa
é a função que “desfaz”
: aplicando
depois
(ou vice‑versa) voltamos ao número inicial. Em símbolos, para todos os
do domínio apropriado vale
Para existir uma inversa como função,
precisa ser bijetora (injectiva + sobrejetiva) entre seu domínio e sua imagem (faixa). A maneira algébrica usual para achar a inversa é: (i) escrever
, (ii) trocar
e
, e (iii) resolver para
. Vou aplicar isso, mas antes precisa ficar claro que podemos resolver sem ambiguidade (ou seja,
é injetora no domínio dado).
Passo 3
Mostrando que
é injetora em
. Uma forma direta é olhar a monotonicidade: calculemos a derivada
Para todo
temos
. Logo
é estritamente decrescente em
. Uma função estritamente monotônica é injetora (dois pontos distintos não podem ter a mesma imagem). Portanto, em
a inversa existe localmente e globalmente (no intervalo).
Passo 4
Determinar a imagem (faixa) de
em
. Observemos os extremos:
- Quando
, temos e então . - Quando
, temos e então .
Comoé contínua e estritamente decrescente em e percorre valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente próximos de (mas nunca ), a imagem de é . Portanto é sobrejetora de em . Conclusão: é bijetora e tem inversa definida em .
Passo 5
Agora calculamos a inversa por substituição algébrica. Começamos com
Troca-se
e
para obter a equação que define a inversa:
Agora resolvemos para
. Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
, o que é coerente pois a imagem não contém
) obtemos
Tomando raiz quadrada de ambos os lados:
Aqui é crucial lembrar que a inversa deve produzir, a partir de uma entrada
na imagem
, o valor original
do domínio de
, que era sempre positivo. Portanto devemos escolher a raiz positiva. Assim
Isso nos dá a expressão da inversa. Para apresentar no formato habitual trocamos o nome da variável: a inversa é
Passo 6
Verificação rápida por composição (checagem de identidade): para
,
E para
(lembrando domínio original),
Mas como no domínio original temos
,
, e assim a composição também retorna
. Ambas as verificações confirmam que encontramos a inversa correta.
Passo 7
Resumo didático-curinga (dica para a prova): sempre lembre (1) restringir domínio quando necessário para tornar uma função injetora (aqui já foi dado
), (2) para achar inversa faça
, troque
e
e resolva por
, (3) ao extrair raiz escolha o sinal compatível com a restrição do domínio original. Isso evita o erro comum de pegar a raiz negativa por descuido.