Dadas as funções a seguir, determine a função inversa, bem como os domínios de f e de f^{-1}.
f(x)=\frac{1}{x^{2}}\, para \(x>0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}\quad\text{para}\quad x>0
e pede duas coisas: (1) determinar a função inversa f^{-1} e (2) indicar os domínios de f e de f^{-1}. Informações relevantes que já temos do enunciado: o domínio de f é o conjunto de todos os x estritamente positivos, ou seja, (0,\infty). Não há mais informações externas; vamos usar apenas isso.

Passo 2

O que é uma função inversa, de forma prática? Se f é invertível, a inversa f^{-1} é a função que “desfaz” f: aplicando f depois f^{-1} (ou vice‑versa) voltamos ao número inicial. Em símbolos, para todos os x do domínio apropriado vale
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
Para existir uma inversa como função, f precisa ser bijetora (injectiva + sobrejetiva) entre seu domínio e sua imagem (faixa). A maneira algébrica usual para achar a inversa é: (i) escrever y=f(x), (ii) trocar x e y, e (iii) resolver para y. Vou aplicar isso, mas antes precisa ficar claro que podemos resolver sem ambiguidade (ou seja, f é injetora no domínio dado).

Passo 3

Mostrando que f é injetora em (0,\infty). Uma forma direta é olhar a monotonicidade: calculemos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Para todo x>0 temos f'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}<0. Logo f é estritamente decrescente em (0,\infty). Uma função estritamente monotônica é injetora (dois pontos distintos não podem ter a mesma imagem). Portanto, em (0,\infty) a inversa existe localmente e globalmente (no intervalo).

Passo 4

Determinar a imagem (faixa) de f em (0,\infty). Observemos os extremos:
  • Quando x\to 0^{+}, temos x^{2}\to 0^{+} e então \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty.
  • Quando x\to +\infty, temos x^{2}\to +\infty e então \dfrac{1}{x^{2}}\to 0^{+}.
    Como f é contínua e estritamente decrescente em (0,\infty) e percorre valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente próximos de 0 (mas nunca 0), a imagem de f é (0,\infty). Portanto f é sobrejetora de (0,\infty) em (0,\infty). Conclusão: f:(0,\infty)\to(0,\infty) é bijetora e tem inversa definida em (0,\infty).

Passo 5

Agora calculamos a inversa por substituição algébrica. Começamos com
y=\frac{1}{x^{2}}\quad\text{com}\quad x>0.
Troca-se x e y para obter a equação que define a inversa:
x=\frac{1}{y^{2}}.
Agora resolvemos para y. Multiplicando ambos os lados por y^{2} (assumindo y\neq 0, o que é coerente pois a imagem não contém 0) obtemos
x y^{2}=1\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{x}.
Tomando raiz quadrada de ambos os lados:
y=\pm\sqrt{\frac{1}{x}}=\pm\frac{1}{\sqrt{x}}.
Aqui é crucial lembrar que a inversa deve produzir, a partir de uma entrada x na imagem (0,\infty), o valor original x do domínio de f, que era sempre positivo. Portanto devemos escolher a raiz positiva. Assim
y=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Isso nos dá a expressão da inversa. Para apresentar no formato habitual trocamos o nome da variável: a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\qquad x>0.

Passo 6

Verificação rápida por composição (checagem de identidade): para x>0,
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=f\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\frac{1}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}=\frac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.
E para x>0 (lembrando domínio original),
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=f^{-1}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}}}=\frac{1}{\dfrac{1}{\lvert x\rvert}}=\lvert x\rvert.
Mas como no domínio original temos x>0, \lvert x\rvert=x, e assim a composição também retorna x. Ambas as verificações confirmam que encontramos a inversa correta.

Passo 7

Resumo didático-curinga (dica para a prova): sempre lembre (1) restringir domínio quando necessário para tornar uma função injetora (aqui já foi dado x>0), (2) para achar inversa faça y=f(x), troque x e y e resolva por y, (3) ao extrair raiz escolha o sinal compatível com a restrição do domínio original. Isso evita o erro comum de pegar a raiz negativa por descuido.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}
\operatorname{Dom}(f)=(0,\infty)
\operatorname{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=(0,\infty)

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