Para converter uma temperatura dada em graus Fahrenheit ( F ) para graus Celsius ( C ), usamos a fórmula
C=\frac{5}{9}(F-32) .
(a) Escreva uma função F\text{(C)} que converta para Fahrenheit uma temperatura C em graus Celsius.
(b) Trace o gráfico de C(F) para F entre -50 e 250 . No mesmo plano coordenado, trace o gráfico de F\text{(C)} para C entre -50 e 120.
(c) Determine em que temperatura a medida em Celsius e Fahrenheit é a mesma. (Dica: determine o valor C tal que F\text{(C)}=C.) Mostre esse ponto no gráfico de F\text{(C)}.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula de conversão de Fahrenheit para Celsius:
C=\frac{5}{9}(F-32).
Pede três coisas:
  1. (a) Encontrar a função F\text{(C)} que converte de Celsius para Fahrenheit (ou seja, inverter a relação).
  2. (b) Traçar no mesmo plano coordenado o gráfico de C(F) para F entre -50 e 250 e, no mesmo plano, o gráfico de F\text{(C)} para C entre -50 e 120. (Como não posso desenhar aqui, vou dar os pontos e instruções passo a passo para você desenhar corretamente.)
  3. (c) Determinar a temperatura em que as medidas em Celsius e Fahrenheit coincidem (ou seja, achar C tal que F\text{(C)}=C) e indicar esse ponto no gráfico.
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • Fórmula direta: \;C=\dfrac{5}{9}(F-32).
  • Intervalo para plotar C(F): F\in[-50,250].
  • Intervalo para plotar F\text{(C)}: C\in[-50,120].

Passo 2

(a) Encontrar F\text{(C)} — passo a passo algébrico e mini-aula sobre inverter uma fórmula linear.
Queremos isolar F na fórmula \;C=\dfrac{5}{9}(F-32). Isso é resolver uma equação linear para F. Tipo de raciocínio: multiplicar para eliminar frações e depois isolar a variável.
  1. Multiplicamos ambos os lados por \dfrac{9}{5} para cancelar o fator \dfrac{5}{9}:
\frac{9}{5}\,C = F-32.
Explicação rápida: multiplicar por \dfrac{9}{5} é o mesmo que dividir por \dfrac{5}{9} — estamos “desfazendo” o coeficiente que estava multiplicando F-32.
  1. Agora isolamos F somando 32 aos dois lados:
F = \frac{9}{5}C + 32.
Interpretação: F\text{(C)} é uma função linear de C com coeficiente angular (inclinação) \dfrac{9}{5} e intercepto (ordenada quando C=0) igual a 32.
Observação didática: inverter uma relação linear geralmente dá outra linear. Aqui as inclinações são recíprocas (mais sobre isso no próximo passo), porque as duas funções são inversas uma da outra.

Passo 3

(b) Como traçar os gráficos — conceitos importantes (inclinação, intercepto), pontos-chave e instruções passo a passo para desenhar:
Primeiro, defino claramente as funções que vamos desenhar:
C(F)=\frac{5}{9}(F-32)
F\text{(C)}=\frac{9}{5}C+32
Mini-aula sobre inclinação e intercepto:
  • Para uma reta no formato y = m x + b, m é a inclinação (quanto y muda quando x aumenta uma unidade) e b é a intercepto em y (valor de y quando x=0).
  • Aqui cada função tem seu próprio “eixo independente”: em C(F) o eixo horizontal é F e o vertical é C. Em F\text{(C)} o eixo horizontal é C e o vertical é F. Para desenhar no mesmo plano, use o eixo horizontal como a temperatura medida na variável independente que você está usando em cada reta ou simplesmente use a mesma escala numérica nos eixos e marque claramente qual coordenada é qual — o truque visual importante é que as duas retas são reflexos uma da outra em relação à reta y=x.
Agora determine pontos fáceis para cada reta (vou dar pontos exatos e decimais fáceis para você marcar):
Para C(F)=\dfrac{5}{9}(F-32) com F\in[-50,250]:
  • Intercepto quando F=0:
C(0)=\frac{5}{9}(0-32)=\frac{5}{9}(-32)=-\frac{160}{9}\approx -17{,}777\ldots
  • Ponto clássico: F=32 C=0. Portanto o ponto (32,0) está na reta. Esse é o ponto de congelamento da água em Fahrenheit e Celsius.
  • Outro ponto clássico: F=212
C(212)=\frac{5}{9}(212-32)=\frac{5}{9}\cdot180=100.
Logo (212,100) está na reta (ponto de ebulição).
  • Extremes pedidos:
F=-50\Rightarrow C(-50)=\frac{5}{9}(-50-32)=\frac{5}{9}(-82)=-\frac{410}{9}\approx -45{,}555\ldots
F=250\Rightarrow C(250)=\frac{5}{9}(250-32)=\frac{5}{9}\cdot218=\frac{1090}{9}\approx 121{,}111\ldots
Instrução de desenho: marque (32,0) e (212,100) e trace a reta que passa por eles; ela se estende para os valores extremos calculados.
Para F\text{(C)}=\dfrac{9}{5}C+32 com C\in[-50,120]:
  • Intercepto quando C=0:
F(0)=\frac{9}{5}\cdot0+32=32,
logo (0,32) está na reta (observe que é reflexo de (32,0)).
  • Pontos úteis:
C=100\Rightarrow F(100)=\frac{9}{5}\cdot100+32=180+32=212,
logo (100,212) (reflexo de (212,100)).
  • Extremes pedidos:
C=-50\Rightarrow F(-50)=\frac{9}{5}(-50)+32=-90+32=-58,
C=120\Rightarrow F(120)=\frac{9}{5}\cdot120+32=216+32=248.
Instrução de desenho: marque (0,32) e (100,212) e trace a reta.
Observação importante (geométrica e útil na prova): as retas são inversas uma da outra, então são reflexos em relação à reta \;y=x. Isso significa que se (a,b) está na reta C(F) então (b,a) está na reta F\text{(C)}. Exemplos: (32,0) e (0,32), (212,100) e (100,212). Desenhe também a reta \;y=x como linha de referência; você verá as duas retas espelhadas por ela.
Resuma o que você deve riscar no papel:
  • Eixos: escolha uma escala que cubra de aproximadamente -60 a 260 em cada eixo (ou adapte conforme sua folha).
  • Para C(F) marque e conecte (32,0) e (212,100); confirme que em F=-50 e F=250 os valores estão próximos dos extremos calculados.
  • Para F\text{(C)} marque e conecte (0,32) e (100,212); confirme os extremos ( -50,-58) e (120,248).
  • Trace a reta \;y=x para ver a simetria.

Passo 4

(c) Achar a temperatura que tem a mesma medida em Celsius e Fahrenheit. A dica já dá o caminho: resolvemos F\text{(C)}=C.
  1. Use a fórmula encontrada em (a):
F\text{(C)}=\frac{9}{5}C+32.
  1. Igualamos a C:
\frac{9}{5}C+32 = C.
  1. Subtraia C dos dois lados para agrupar termos:
\left(\frac{9}{5}-1\right)C + 32 = 0.
Calcule a diferença:
\frac{9}{5}-1 = \frac{9-5}{5} = \frac{4}{5}.
Logo a equação fica
\frac{4}{5}C + 32 = 0.
  1. Isolando C:
\frac{4}{5}C = -32 \quad\Rightarrow\quad C = -32\cdot\frac{5}{4} = -40.
Portanto C=-40. Como F\text{(C)}=C, também F=-40. O ponto onde as medidas coincidem é (-40,-40).
Marcação no gráfico: esse ponto (-40,-40) fica sobre as duas retas e também na reta \;y=x; marque-o claramente — é o único ponto em que as temperaturas em Celsius e Fahrenheit são iguais.

Resposta

(a) F\text{(C)}=\dfrac{9}{5}C+32
(b) Gráficos: C(F)=\dfrac{5}{9}(F-32) (reta com inclinação \dfrac{5}{9}, passa por (32,0) e (212,100); em F=-50 C=-\dfrac{410}{9}\approx-45{,}556, em F=250 C=\dfrac{1090}{9}\approx121{,}111).
F\text{(C)}=\dfrac{9}{5}C+32 (reta com inclinação \dfrac{9}{5}, passa por (0,32) e (100,212); em C=-50 F=-58, em C=120 F=248).
As duas retas são reflexos uma da outra em relação à reta y=x.
(c) A temperatura em que Celsius e Fahrenheit coincidem é -40 graus, ponto (-40,-40).

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