Para converter uma temperatura dada em graus Fahrenheit (
) para graus Celsius (
), usamos a fórmula
(a) Escreva uma função
que converta para Fahrenheit uma temperatura
em graus Celsius.
(b) Trace o gráfico de
para
entre -50 e 250 . No mesmo plano coordenado, trace o gráfico de
para
entre -50 e 120.
(c) Determine em que temperatura a medida em Celsius e Fahrenheit é a mesma. (Dica: determine o valor
tal que
.) Mostre esse ponto no gráfico de
.
(b) Trace o gráfico de
(c) Determine em que temperatura a medida em Celsius e Fahrenheit é a mesma. (Dica: determine o valor
Passo 1
O enunciado dá a fórmula de conversão de Fahrenheit para Celsius:
Pede três coisas:
- (a) Encontrar a função
que converte de Celsius para Fahrenheit (ou seja, inverter a relação). - (b) Traçar no mesmo plano coordenado o gráfico de
para entre e e, no mesmo plano, o gráfico de para entre e . (Como não posso desenhar aqui, vou dar os pontos e instruções passo a passo para você desenhar corretamente.) - (c) Determinar a temperatura em que as medidas em Celsius e Fahrenheit coincidem (ou seja, achar
tal que ) e indicar esse ponto no gráfico.
Informações relevantes dadas explicitamente:
- Fórmula direta:
. - Intervalo para plotar
: . - Intervalo para plotar
: .
Passo 2
(a) Encontrar
— passo a passo algébrico e mini-aula sobre inverter uma fórmula linear.
Queremos isolar
na fórmula
. Isso é resolver uma equação linear para
. Tipo de raciocínio: multiplicar para eliminar frações e depois isolar a variável.
- Multiplicamos ambos os lados por
para cancelar o fator :
Explicação rápida: multiplicar por
é o mesmo que dividir por
— estamos “desfazendo” o coeficiente que estava multiplicando
.
- Agora isolamos
somando aos dois lados:
Interpretação:
é uma função linear de
com coeficiente angular (inclinação)
e intercepto (ordenada quando
) igual a
.
Observação didática: inverter uma relação linear geralmente dá outra linear. Aqui as inclinações são recíprocas (mais sobre isso no próximo passo), porque as duas funções são inversas uma da outra.
Passo 3
(b) Como traçar os gráficos — conceitos importantes (inclinação, intercepto), pontos-chave e instruções passo a passo para desenhar:
Primeiro, defino claramente as funções que vamos desenhar:
Mini-aula sobre inclinação e intercepto:
- Para uma reta no formato
, é a inclinação (quanto muda quando aumenta uma unidade) e é a intercepto em (valor de quando ). - Aqui cada função tem seu próprio “eixo independente”: em
o eixo horizontal é e o vertical é . Em o eixo horizontal é e o vertical é . Para desenhar no mesmo plano, use o eixo horizontal como a temperatura medida na variável independente que você está usando em cada reta ou simplesmente use a mesma escala numérica nos eixos e marque claramente qual coordenada é qual — o truque visual importante é que as duas retas são reflexos uma da outra em relação à reta .
Agora determine pontos fáceis para cada reta (vou dar pontos exatos e decimais fáceis para você marcar):
Para
com
:
- Intercepto quando
:
- Ponto clássico:
dá . Portanto o ponto está na reta. Esse é o ponto de congelamento da água em Fahrenheit e Celsius. - Outro ponto clássico:
dá
Logo
está na reta (ponto de ebulição).
- Extremes pedidos:
Instrução de desenho: marque
e
e trace a reta que passa por eles; ela se estende para os valores extremos calculados.
Para
com
:
- Intercepto quando
:
logo
está na reta (observe que é reflexo de
).
- Pontos úteis:
logo
(reflexo de
).
- Extremes pedidos:
Instrução de desenho: marque
e
e trace a reta.
Observação importante (geométrica e útil na prova): as retas são inversas uma da outra, então são reflexos em relação à reta
. Isso significa que se
está na reta
então
está na reta
. Exemplos:
e
,
e
. Desenhe também a reta
como linha de referência; você verá as duas retas espelhadas por ela.
Resuma o que você deve riscar no papel:
- Eixos: escolha uma escala que cubra de aproximadamente
a em cada eixo (ou adapte conforme sua folha). - Para
marque e conecte e ; confirme que em e os valores estão próximos dos extremos calculados. - Para
marque e conecte e ; confirme os extremos e . - Trace a reta
para ver a simetria.
Passo 4
(c) Achar a temperatura que tem a mesma medida em Celsius e Fahrenheit. A dica já dá o caminho: resolvemos
.
- Use a fórmula encontrada em (a):
- Igualamos a
:
- Subtraia
dos dois lados para agrupar termos:
Calcule a diferença:
Logo a equação fica
- Isolando
:
Portanto
. Como
, também
. O ponto onde as medidas coincidem é
.
Marcação no gráfico: esse ponto
fica sobre as duas retas e também na reta
; marque-o claramente — é o único ponto em que as temperaturas em Celsius e Fahrenheit são iguais.
Resposta
(a)
(b) Gráficos:
(reta com inclinação
, passa por
e
; em
dá
, em
dá
).
(reta com inclinação
, passa por
e
; em
dá
, em
dá
).
As duas retas são reflexos uma da outra em relação à reta .
As duas retas são reflexos uma da outra em relação à reta
(c) A temperatura em que Celsius e Fahrenheit coincidem é
graus, ponto
.