Calcule os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow e^{2}} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\displaystyle \lim_{x\to e^{2}} \ln(x).
Informações dadas:
  • A variável x tende para o número e^{2}.
  • A função envolvida é a função logaritmo natural \ln(x).
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

O que é \ln(x) e quais são suas propriedades úteis aqui?
  • A função \ln (logaritmo natural) é definida para todo x>0.
  • É a função inversa da exponencial e^{t}. Ou seja, para todo t\in\mathbb{R} vale \ln\big(e^{t}\big)=t e para todo x>0 vale e^{\ln x}=x.
  • A função e^{t} é contínua para todo t, e como é bijetora de \mathbb{R} em (0,\infty), sua inversa \ln(x) também é contínua em todo (0,\infty).
    Aqui: e^{2}>0, logo está no domínio de \ln.

Passo 3

O que significa continuidade em termos de limite?
  • Uma função f é contínua em um ponto a se
    \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Já afirmamos que \ln é contínua em todo x>0. Como e^{2}>0, a função \ln é contínua no ponto x=e^{2}.

Passo 4

Aplicando a continuidade para avaliar o limite:
  • Pela continuidade de \ln em e^{2}, tem-se
    \displaystyle \lim_{x\to e^{2}} \ln(x)=\ln\big(e^{2}\big).

Passo 5

Calcular \ln\big(e^{2}\big):
  • Usando a identidade \ln\big(e^{t}\big)=t, com t=2, obtemos
    \ln\big(e^{2}\big)=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados