Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{2}-3 x+2 & \text { se } x>1 \\\\ 2 & \text { se } x=1 \\\\ 2-x^{2} & \text { se } x<1\end{array}\right. no ponto x=4
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=4.
As informações relevantes que temos:
A função é dada por três ramos, com cortes em x=1.
O ponto onde checamos continuidade é x=4.
Observe que 4>1, portanto o ramo aplicável em torno de x=4 é o primeiro: f(x)=2x^{2}-3x+2 para x>1.
O que precisa ser verificado: se
\lim_{x\to4} f(x)=f(4).]
Passo 2
Lembra da definição prática de continuidade num ponto a: a função f é contínua em a se e só se os dois itens seguintes ocorrerem:
f(a) está definido.
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
No caso de funções dadas por partes, um atalho útil na prova é:
Se o ponto a está no interior de um intervalo onde f é definida por uma expressão conhecida e contínua (por exemplo, um polinômio), então f é contínua em a porque aquela expressão é contínua naquele intervalo.
Só é preciso checar limites laterais separados quando a é ponto de junção entre ramos (isto é, quando a está na fronteira dos pedaços).
Passo 3
Identificar o ramo que vale em x=4. Como 4>1, usamos o ramo
f(x)=2x^{2}-3x+2 \quad\text{(válido para }x>1\text{)}.á
Logo f(4) é dado por essa expressão. Vamos calcular f(4):
f(4)=2\cdot 4^{2}-3\cdot 4+2.
Calcule passo a passo:
4^{2}=16,
2\cdot 16=32,
3\cdot 4=12,
32-12+2=22.
Portanto
f(4)=22.
Passo 4
Agora calcular \displaystyle\lim_{x\to4} f(x). Como 4 está num ponto interior do intervalo (1,\infty) onde f(x)=2x^{2}-3x+2, existe um intervalo aberto ao redor de 4 (por exemplo, (3,5)) em que, para x\neq4 suficientemente próximo de 4, temos x>1 e portanto f(x)=2x^{2}-3x+2.
Dito de outra forma: escolha \delta=1. Se 0<|x-4|<1 então 3<x<5 e, em particular, x>1, logo nessa vizinhança f(x)=2x^{2}-3x+2. Como polinômios são contínuos, vale
Comparando os resultados: \displaystyle\lim_{x\to4} f(x)=22 e f(4)=22. Assim os dois números são iguais e a definição de continuidade em x=4 é satisfeita.
Pequena dica para a prova: quando o ponto não é um ponto de junção entre ramos (aqui 4 não é, porque a junção é em x=1), basta verificar qual ramo vale ali e avaliar. Se fosse x=1, aí sim teria que checar limites laterais direito e esquerdo separadamente.
Força aí — deu trabalho mas é só isso: ponto interior + polinômio = tranquilo!