Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-4}{x+2} & \text { se } x \neq-2 \\\\ 4 & \text { se } x=-2\end{array}\right. no ponto x=-2

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x+2}, & \text{se } x\neq -2,\\[6pt] 4, & \text{se } x=-2. \end{cases}
A pergunta é verificar se f é contínua no ponto x=-2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\neq -2, f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x+2}.
  • Para x=-2, f(-2)=4.
    O que precisamos decidir: se a função é contínua em x=-2 (ou seja, se \lim_{x\to-2} f(x) existe e é igual a f(-2)).]

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade (de forma bem direta): uma função f é contínua em x=a se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
  1. \,f(a)\, está definida;
  2. \,\lim_{x\to a} f(x)\, existe (ou seja, os limites laterais coincidem e são finitos);
  3. \,\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
    Aqui já sabemos que a condição (1) é satisfeita porque o enunciado dá f(-2)=4. Então o trabalho é calcular \lim_{x\to-2} f(x) e comparar com f(-2).

Passo 3

Calcular o limite usando a expressão para x\neq -2. Para x\neq -2 temos:
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}.
Fatorando o numerador (diferença de quadrados):
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Como estamos considerando x\neq -2, podemos simplificar o fator (x+2) sem problema, obtendo
\frac{x^{2}-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\qquad\text{(para }x\neq -2\text{).}

Passo 4

Agora que simplificamos, a função próxima de -2 (por x\neq -2) é simplesmente x-2. Portanto o limite quando x\to -2 é o valor de x-2 em x=-2:
\lim_{x\to -2} f(x)=\lim_{x\to -2} (x-2)=(-2)-2=-4.
Assim, \lim_{x\to -2} f(x)=-4.

Passo 5

Comparando com o valor dado da função em x=-2: f(-2)=4. Temos
\lim_{x\to -2} f(x) = -4 \quad\text{e}\quad f(-2)=4,
e claramente -4 \neq 4. Pela definição de continuidade (Passo 2), isso significa que f NÃO é contínua em x=-2.

Passo 6

Classificação da descontinuidade (didática e prática): como o limite \lim_{x\to -2} f(x) existe e é finito (igual a -4), mas o valor da função no ponto é diferente, essa é uma descontinuidade removível. Em palavras: dá para tornar f contínua em -2 simplesmente redefinindo f(-2) para ser -4 em vez de 4.

Passo 7

Resumo prático que vale na prova (passo a passo rápido que você pode reproduzir):
  • Identifique a expressão para x\neq a e tente simplificá-la para avaliar o limite por substituição direta.
  • Calcule \lim_{x\to a} f(x).
  • Compare com f(a). Se iguais, contínua; se diferentes, descontinuidade.
    No caso dado: simplificar levou a x-2, limite -4, e f(-2)=4 → descontinuidade removível.

Resposta

Não. \lim_{x\to -2} f(x) = -4 \neq f(-2) = 4. A função não é contínua em x=-2 (descontinuidade removível).

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